已知單位
a
，
b
夾角為銳角，且|
a
-t•
b
|（t∈R）最小值為
3
2
．
（Ⅰ）求（
a
+
b
）（
a
-2
b
）的值；
（Ⅱ）若
c
滿足（
c
-
a
）•（
c
+
b
）=0，求|
c
|的最小值．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,向量的模
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（Ⅰ）由題意可得兩個向量的夾角，可得
a
•
b
=
1
2
，從而求得（
a
+
b
）（
a
-2
b
）=
a
2-2
b
2-
a
•
b
 的值．
（Ⅱ）由題意可得（
c
-
a
）⊥[
c
-（-
b
）]，向量
c
的終點(diǎn)在以向量
a
、-
b
的終點(diǎn)A、B為直徑的圓上，且|AB|=
3
，從而求得|
c
|的最小值．
解答： 解：（Ⅰ）由單位
a
，
b
夾角為銳角θ，且|
a
-t•
b
|（t∈R）最小值為
3
2
，
可得1+t2-2t•cosθ 的最小值為
3
4
，∴cosθ=
1
2
，∴θ=60，
a
•
b
=1×1×cosθ°=
1
2
．
（
a
+
b
）（
a
-2
b
）=
a
2-2
b
2-
a
•
b
=1-2-
1
2
=-
3
2
．
（Ⅱ）若
c
滿足（
c
-
a
）•（
c
+
b
）=0，則（
c
-
a
）⊥[
c
-（-
b
）]，
向量
c
的終點(diǎn)在以向量
a
、-
b
的終點(diǎn)A、B為直徑的圓上，且|AB|=
3
，
從而|
c
|≥
3
2
-
1
2
．
點(diǎn)評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個向量垂直的性條件，求向量的模，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖（1）所示，在邊長為12的正方形AA′A′1A1中，點(diǎn)B、C在線段AA′上，且AB=3，BC=4．作BB1∥AA1，分別交A1A1′、AA1′于點(diǎn)B1、P；作CC1∥AA1，分別交A1A1′、AA1′于點(diǎn)C1、Q．現(xiàn)將該正方形沿BB1，CC1折疊，使得A′A1′與AA1重合，構(gòu)成如圖（2）所示的三棱柱ABC-A1B1C1．
（1）在三棱柱ABC-A1B1C1中，求證：AP⊥BC；
（2）在三棱柱ABC-A1B1C1中，連接AQ與A1P，求四面體AA1QP的體積；
（3）在三棱柱ABC-A1B1C1中，求直線PQ與直線AC所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=|x-a|，若f（x）＜m的解集為{x|-1≤x≤5}，其中a、m為實(shí)數(shù)，則a+m=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

點(diǎn)P（x，y）是直線x-y+2=0上的一個動點(diǎn)，則xy有最
 
（填大或�。┲担瑇y的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)集合a={5，
1
a
}，集合B={a，b}．若A∩B={2}，則A∪B=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若關(guān)于x的二次不等式ax2+bx+c＞0恒成立，則一定有
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
(a-2)x，x≥2
(
1
2
)x-1，x＜2
對任意的實(shí)數(shù)x1≠x2，都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＜0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+bx-a+2
（1）若關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）若b=2，a＞0，解關(guān)于x的不等式f（x）＞0；
（3）若a=1，b∈R，當(dāng)x∈[1，4]時函數(shù)y=f（x）的圖象恒在函數(shù)y=-2x-3圖象的上方，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)（1，1）在圓x2+y2+4mx-2y+5m=0外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）
A、0＜m＜
1
4
B、0＜m＜1
C、0＜m＜
1
4
或m＞1
D、0＜m＜
1
2
或m＞1

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