Question

11．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，M，N分別是棱AA₁，CC₁的中點(diǎn)，
（Ⅰ）求正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的內(nèi)切球的半徑與外接球的半徑之比；
（Ⅱ）求四棱錐A-MB₁ND的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）內(nèi)切球的直徑是AB，外接球的直徑是AC₁，由此能求出內(nèi)切球與外接球半徑之比．
（Ⅱ）連結(jié)MN，則${V_{A-M{B_1}ND}}={V_{A-M{B_1}N}}+{V_{A-MND}}$${V_{A-M{B_1}N}}={V_{N-AM{B_1}}}=\frac{1}{3}•a•{S_{△AM{B_1}}}$，由此能求出四棱錐A-MB₁ND的體積．

解答 解：（Ⅰ）由題意，內(nèi)切球的直徑是AB，外接球的直徑是AC₁，
∴內(nèi)切球半徑$r=\frac{1}{2}a$，外接球半徑$R=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，
∴內(nèi)切球與外接球半徑之比為$1：\sqrt{3}$．
（Ⅱ）連結(jié)MN，
則${V_{A-M{B_1}ND}}={V_{A-M{B_1}N}}+{V_{A-MND}}$${V_{A-M{B_1}N}}={V_{N-AM{B_1}}}=\frac{1}{3}•a•{S_{△AM{B_1}}}$，
∵${S_{△AM{B_1}}}=\frac{1}{2}•AM•{B_1}{A_1}=\frac{1}{2}•\frac{1}{2}a•a=\frac{1}{4}{a^2}$，
∴${V_{A-M{B_1}N}}=\frac{1}{3}•a•\frac{1}{4}{a^2}=\frac{1}{12}{a^3}$，${V_{A-MND．}}={V_{N-AMD}}=\frac{1}{3}•a•{S_{△AM{D_1}}}$，
∵${S_{△AM{B_1}}}=\frac{1}{2}•AM•AD=\frac{1}{2}•\frac{1}{2}a•a=\frac{1}{4}{a^2}$，
∴${V_{A-MND}}=\frac{1}{3}•a•\frac{1}{4}{a^2}=\frac{1}{12}{a^3}$，
綜上，四棱錐A-MB₁ND的體積${V_{A-M{B_1}ND}}={V_{A-M{B_1}N}}+{V_{A-MND}}=\frac{1}{6}{a^3}$．

點(diǎn)評 本題考查正方體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比，考查四棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意正方體的性質(zhì)的合理運(yùn)用．