Question

1．（1）已知函數(shù)y=$\frac{1}{{x}^{2}-mx+1}$的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若關于x的不等式-x²-ax+a-3≤0在[-2，2]上恒成立．求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得x²-mx+1≠0恒成立，即m²-4＜0，解不等式即可得到m的范圍；
（2）a（1-x）≤x²+3，對x討論，當x=1時，當1＜x≤2時，當-2≤x＜1時，運用參數(shù)分離和對號函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最值，解不等式可得a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)y=$\frac{1}{{x}^{2}-mx+1}$的定義域為R，
即有x²-mx+1≠0恒成立，即m²-4＜0，
解得-2＜m＜2，
則實數(shù)m的取值范圍是（-2，2）；
（2）關于x的不等式-x²-ax+a-3≤0在[-2，2]上恒成立，
即為a（1-x）≤x²+3，
當x=1時，0＜3顯然成立；
當1＜x≤2時，-a≤$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$的最小值，
由x-1=t（0＜t≤1），$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$=$\frac{（t+1）^{2}+3}{t}$=t+$\frac{4}{t}$+2在（0，1]遞減，
t=1時，取得最小值，且為7，則-a≤7，
解得a≥-7；
當-2≤x＜1時，-a≥$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$的最大值，
由x-1=t（-3≤t＜0），$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$=$\frac{（t+1）^{2}+3}{t}$=t+$\frac{4}{t}$+2，
t=-2時，取得最大值，且為-2，則-a≥-2，
解得a≤2．
綜上可得-7≤a≤2．

點評 本題考查函數(shù)的恒成立問題的求法，注意運用參數(shù)分離和單調(diào)性求最值，屬于中檔題．