Question

已知f（x）=

1

2

lnx-

1

2e2

x（e為自然對數(shù)的底），g（x）=x-

a

x

（a＞0）．若對任意x₁，x₂∈[2，2e²]都有g(shù)（x₁）≥f（x₂），則實數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：分別求出f（x），g（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷它們的單調(diào)性，求出極值，得到它們的最大值和最小值，由于對任意x₁，x₂∈[2，2e²]都有g(shù)（x₁）≥f（x₂），則只要g（x₁）的最小值≥f（x₂）的最大值，解不等式即可得到a的范圍．

解答： 解：g（x）=x-

a

x

（a＞0）的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=1+

a

x2

＞0，
則g（x）在[2，2e²]上遞增，即有g(shù)（2）最小，且為2-

a

2

，
又f（x）=

1

2

lnx-

1

2e2

x，其導(dǎo)數(shù)f′（x）=

1

2x

-

1

2e2

，
令f′（x）=0，得x=e²∈[2，2e²]，且在x=e²處導(dǎo)數(shù)左正右負，
為極大值點，也為最大值點，
則f（x）的最大值為f（e²）=

1

2

×2-

1

2e2

×e²=

1

2

，
由于對任意x₁，x₂∈[2，2e²]都有g(shù)（x₁）≥f（x₂），
則只要g（x₁）的最小值≥f（x₂）的最大值，
即有2-

a

2

≥

1

2

，解得0＜a≤3．
故答案為：（0，3]．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求極值和最值，考查不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．