已知函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且當x＞0時，f（x）＞1．
（Ⅰ）求證：函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x2-ax+5a）＜f（m）的解集為{x|-3＜x＜2}，求m的值．
（Ⅲ）若f（1）=2，求f（2014）的值．
考點：抽象函數(shù)及其應用,函數(shù)單調性的性質
專題：函數(shù)的性質及應用
分析：（Ⅰ）直接利用函數(shù)單調性的定義進行判定即可；
（Ⅱ）利用函數(shù)單調性去掉“f“，然后根據(jù)解集可求出m的值；
（Ⅲ）令x=n，y=1，得f（n+1）-f（n）=1，然后利用累加法可求出所求．
解答： （Ⅰ）證明：設x1＞x2，則x1-x2＞0，從而f（x1-x2）＞1，即f（x1-x2）-1＞0．
f（x1）=f[x2+（x1-x2）]=f（x2）+f（x1-x2）-1＞f（x2），
故f（x）在R上是增函數(shù)．
（Ⅱ）解：f（x2-ax+5a）＜f（m）．由（1）得x2-ax+5a＜m，即x2-ax+5a-m＜0．
∵不等式f（x2-ax+5a）＜f（m）的解集為{x|-3＜x＜2}，
∴方程x2-ax+5a-m=0的兩根為-3和2，
于是
-3+2=a
-3×2=5a-b
，解得
a=-1
m=1
，
（Ⅲ）解：若f（1）=2，在已知等式中令x=n，y=1，得f（n+1）-f（n）=1，
所以累加可得，f（n）=2+（n-1）×1=n+1，故f（2014）=2015．
點評：本題主要考查了抽象函數(shù)的應用，以及一元二次不等式的求解，同時考查了學生分析問題和解決問題的能力，以及運算求解的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

將函數(shù)f（x）=sin（x+
π
3
）的圖象向右平移
π
6
個單位，所得圖象的函數(shù)解析式為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知奇函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調遞增，且f（2）=0，則不等式（x-1）•f（x-1）＞0的解集是（　�。�
A、（-1，3）
B、（-∞-1）
C、（-∞-1）∪（3，+∞）
D、（-1，1）∪（1，3）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＞0）滿足f（0）=-1，方程f（x）=x-1只有一個根，且f（-
1
2
+x）=f（-
1
2
-x）
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）是否存在實數(shù)a，使函數(shù)g（x）=log 
1
2
（f（a））x在（-∞，+∞）上為減函數(shù)？若存在，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x+3，且f（0）=4．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，4]上的值域．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=loga（x+1）-loga（1-x），a＞0且a≠1．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并予以證明；
（3）若a＞1時，求使f（x）＞0的x的解集．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=
1
2
lnx-
1
2e2
x（e為自然對數(shù)的底），g（x）=x-
a
x
（a＞0）．若對任意x1，x2∈[2，2e2]都有g（x1）≥f（x2），則實數(shù)a的取值范圍為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y（x）=cosx•sinx（x+
π
3
）-
3
cos2x+
3
4
，x∈[-
π
4
，
π
4
)．
（Ⅰ）求f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）的值域．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＜0，又f（1）=-2
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）在R上的單調性；
（3）求f（x）在區(qū)間[-3，3]上的值域；
（4）若任意x∈R，不等式f（ax2）-2f（x）＜f（x）+4恒成立，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案