Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，右焦點為F（1，0），A，B是橢圓的左、右頂點，P是橢圓C上異于A，B的動點，且△APB面積的最大值為2

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線AP與直線x=2交于點D．試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓C方程，利用右焦點為F（1，0），△APB面積的最大值為2

3

，建立方程組，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AP的方程，可得D的坐標(biāo)，直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理求出P的坐標(biāo)，分類討論，結(jié)合點到直線的距離公式，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：由題意可設(shè)橢圓C方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則
因為右焦點為F（1，0），△APB面積的最大值為2

3

，
所以

1 2 •2a•b=2 3 a2-b2=1

，
所以a=2，b=

3

，
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）以BD為直徑的圓與直線PF相切．
證明：由題意，設(shè)直線AP的方程為y=k（x+2）（k≠0）．
則點D坐標(biāo)為（2，4k），BD中點E的坐標(biāo)為（2，2k）．
由直線方程代入橢圓方程可得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0．
設(shè)點P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則-2x₀=

16k2-12

3+4k2

．
所以x₀=

6-8k2

3+4k2

，y₀=

12k

3+4k2

．
因為點F坐標(biāo)為（1，0），
當(dāng)k=±

1

2

時，點P的坐標(biāo)為（1，±

3

2

），點D的坐標(biāo)為（2，±2）．
直線PF⊥x軸，此時以BD為直徑的圓（x-2）²+（y-2k）²=1與直線PF相切．
當(dāng)k≠±

1

2

時，則直線PF的斜率

y0

x0-1

=

4k

1-4k2

．
所以直線PF的方程為y=

4k

1-4k2

（x-1）． 
點E到直線PF的距離d=

| 8k 1-4k2 -2k- 4k 1-4k2 |

16k2 (1-4k2)2 +1

=2|k|．
又因為|BD|=4|k|，所以d=

1

2

|BD|．
故以BD為直徑的圓與直線PF相切．
綜上得，以BD為直徑的圓與直線PF相切．

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．