Question

15．已知△ABC中．∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2acosB=ccosB+bcosC．
（1）求角B的大�。�
（2）設(shè)向量$\overrightarrow{m}$=（cosA，cos2A），$\overrightarrow{n}$=（12，-5），求當(dāng)$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$取最大值時(shí)，tan（A-$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理結(jié)合兩角和差的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求角B的大小；
（2）先根據(jù)向量的數(shù)量得到$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=12cosA-10cos²A+5，設(shè)cosA=x，則-$\frac{1}{2}$＜x＜1，得到$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-10x²+12x+5，其對(duì)稱軸x=$\frac{3}{5}$，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得到
cosA=$\frac{3}{5}$，再根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角差的正切公式即可求出．

解答 解：（1）在△ABC中，∵2acosB=ccosB+bcosC．
∴由正弦定理得2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosBsinA，
∵sinA＞0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$，
（2）∵向量$\overrightarrow{m}$=（cosA，cos2A），$\overrightarrow{n}$=（12，-5），
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=12cosA-5cos2A=12cosA-10cos²A+5，
∵B=$\frac{π}{3}$，
∴0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴-$\frac{1}{2}$＜cosA＜1，
設(shè)cosA=x，則-$\frac{1}{2}$＜x＜1，
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-10x²+12x+5，其對(duì)稱軸x=$\frac{3}{5}$，
∴當(dāng)x=$\frac{3}{5}$時(shí)函數(shù)有最大值，則$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$取最大值，
即cosA=$\frac{3}{5}$，
∴sinA=$\frac{4}{5}$，
∴tanA=$\frac{4}{3}$，
∴tan（A-$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanA-tan\frac{π}{4}}{1+tanAtan\frac{π}{4}}$=$\frac{\frac{4}{3}-1}{1+\frac{4}{3}}$=$\frac{1}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查解三角形的應(yīng)用，根據(jù)正弦定理和余弦定理以及兩角和差的正切正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．