Question

15．已知△ABC中．∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，且2acosB=ccosB+bcosC．
（1）求角B的大�。�
（2）設向量$\overrightarrow{m}$=（cosA，cos2A），$\overrightarrow{n}$=（12，-5），求當$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$取最大值時，tan（A-$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理結合兩角和差的正弦公式進行化簡即可求角B的大��；
（2）先根據(jù)向量的數(shù)量得到$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=12cosA-10cos²A+5，設cosA=x，則-$\frac{1}{2}$＜x＜1，得到$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-10x²+12x+5，其對稱軸x=$\frac{3}{5}$，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得到
cosA=$\frac{3}{5}$，再根據(jù)同角的三角函數(shù)的關系以及兩角差的正切公式即可求出．

解答 解：（1）在△ABC中，∵2acosB=ccosB+bcosC．
∴由正弦定理得2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosBsinA，
∵sinA＞0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$，
（2）∵向量$\overrightarrow{m}$=（cosA，cos2A），$\overrightarrow{n}$=（12，-5），
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=12cosA-5cos2A=12cosA-10cos²A+5，
∵B=$\frac{π}{3}$，
∴0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴-$\frac{1}{2}$＜cosA＜1，
設cosA=x，則-$\frac{1}{2}$＜x＜1，
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-10x²+12x+5，其對稱軸x=$\frac{3}{5}$，
∴當x=$\frac{3}{5}$時函數(shù)有最大值，則$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$取最大值，
即cosA=$\frac{3}{5}$，
∴sinA=$\frac{4}{5}$，
∴tanA=$\frac{4}{3}$，
∴tan（A-$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanA-tan\frac{π}{4}}{1+tanAtan\frac{π}{4}}$=$\frac{\frac{4}{3}-1}{1+\frac{4}{3}}$=$\frac{1}{7}$．

點評 本題主要考查解三角形的應用，根據(jù)正弦定理和余弦定理以及兩角和差的正切正弦公式進行化簡是解決本題的關鍵．