Question

10．已知直線y=3x+1與曲線y=ax³+3相切，則a的值為（　�。�

• A． 1
• B． ±1
• C． -1
• D． -2

Answer 1

分析 設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），由于y′=3ax²，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得k=3ax₀²，又由于點(diǎn)（x₀，y₀）在曲線與直線上，建立方程關(guān)系，即可解出a．

解答 解：設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），
∵y=ax³+3的導(dǎo)數(shù)y′=3ax²，
則k=3ax₀²，y₀=ax₀³+1
則對(duì)應(yīng)的切線方程為y-（ax₀³+1）=3ax₀²（x-x₀），即y=3ax₀²x+1-2ax₀³，
∵y=3x+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a{{x}_{0}}^{2}=3}\\{1-2a{{x}_{0}}^{3}=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a{{x}_{0}}^{2}=1}\\{1-2a{{x}_{0}}^{3}=0}\end{array}\right.$，得x₀=1，a=1，
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的方程等．