Question

20．已知?jiǎng)訄AM過點(diǎn)F（0，$\frac{1}{4}$），且與直線4y+1=0相切．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）求與直線2x+y-3=0平行且與M的軌跡相切的直線方程并求切點(diǎn)P的坐際；
（3）若直線1與點(diǎn)M的軌跡相切，l與直線4y+1=0相交于點(diǎn)A，與直線4y-1=0相交于點(diǎn)B，求證：△FAB是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的定義即可求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）根據(jù)直線與拋物線的相切，利用削元法，轉(zhuǎn)化為判別式△=0，即可得到結(jié)論．
（3）設(shè)出切線的切點(diǎn)坐標(biāo)求出切線方程，求出A，B的坐標(biāo)，計(jì)算|AF|=|BF|，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)動(dòng)圓M的圓心M（x，y），半徑R，
∵動(dòng)圓M過點(diǎn)F（0，$\frac{1}{4}$），且與直線4y+1=0相切．
∴圓心到直線y=$-\frac{1}{4}$的距離d=R，MF=R，
則MF=d，
即M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，y=$-\frac{1}{4}$為準(zhǔn)線的拋物線，
則對(duì)應(yīng)的拋物線方程為x²=y．
（2）設(shè)與直線2x+y-3=0平行的直線為2x+y+b=0
若2x+y+b=0與x²=y相切得x²=-2x-b，
即x²+2x+b=0，由判別式△=4-4b=0得b=1，此時(shí)切線方程為2x+y+1=0，
此時(shí)x=-$\frac{2}{2}$=-1，y=1，即切點(diǎn)P坐標(biāo)為（-1，1）．
（3）設(shè)直線l與x²=y相切，切線為（m，m²），
則函數(shù)y=x²的導(dǎo)數(shù)f′（x）=2x，
則切線斜率k=2m，
則切線方程為y-m²=2m（x-m），
即y=2mx-m²，
當(dāng)y=$\frac{1}{4}$，得x=$\frac{{m}^{2}+\frac{1}{4}}{2m}$，則A（$\frac{{m}^{2}+\frac{1}{4}}{2m}$，$\frac{1}{4}$），
當(dāng)y=-$\frac{1}{4}$，得x=$\frac{{m}^{2}-\frac{1}{4}}{2m}$，則B（$\frac{{m}^{2}-\frac{1}{4}}{2m}$，-$\frac{1}{4}$），
則|AF|=|$\frac{{m}^{2}+\frac{1}{4}}{2m}$|，
|BF|=$\sqrt{（\frac{{m}^{2}-\frac{1}{4}}{2m}）^{2}+\frac{1}{4}}$=$\sqrt{（\frac{{m}^{2}+\frac{1}{4}}{2m}）^{2}}$=|$\frac{{m}^{2}+\frac{1}{4}}{2m}$|，
則|AF|=|BF|，
即：△FAB是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查軌跡的計(jì)算，根據(jù)拋物線的定義求出拋物線的方程，以及利用直線和拋物線相切是解決本題的關(guān)鍵．