Question

1．已知二次函數f（x）滿足f（2+x）=f（2-x）（x∈R），且該函數的圖象與y軸交于點（0，3），在x軸上截得的線段長為2，則該二次函數的解析式為f（x）=x²-4x+3．

Answer 1

分析 根據函數圖象的對稱性可求出f（x）的零點為1，3，設f（x）=a（x-1）（x-3），把（0，3）代入解析式即可求出a，得出f（x）的解析式．

解答 解：∵f（2+x）=f（2-x），∴f（x）的對稱軸為x=2，
設f（x）=0的兩個零點分別為x₁，x₂，x₁＜x₂，
則x₁+x₂=4，
又f（x）圖象在x軸上截得的線段長為2，
∴x₂-x₁=2，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=4}\\{{x}_{2}-{x}_{1}=2}\end{array}\right.$，得x₁=1，x₂=3，
設f（x）=a（x-1）（x-3），
∵f（x）圖象與y軸交于點（0，3），
∴f（0）=3a=3，∴a=1．
∴f（x）=（x-1）（x-3）=x²-4x+3．
故答案為：f（x）=x²-4x+3．

點評 本題考查了二次函數的性質，函數解析式的求法，屬于中檔題．