Question

18．設(shè)函數(shù)y=$\sqrt{3}$cos2x+2cos²（$\frac{π}{4}$-x）-1，x∈R
（1）求f（x）的最小正周期；
（3）求f（x）在閉區(qū)間[-$\frac{π}{3}，\frac{π}{2}$]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用三角函數(shù)的恒等變換求得f（x）=2sin（$\frac{π}{3}$+2x），再利用正弦函數(shù)的周期性求得f（x）的最小正周期．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）在閉區(qū)間[-$\frac{π}{3}，\frac{π}{2}$]上的最大值與最小值．

解答 解：（1）∵函數(shù)y=$\sqrt{3}$cos2x+2cos²（$\frac{π}{4}$-x）-1=$\sqrt{3}$cos2x+cos（$\frac{π}{2}$-2x）=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x=2sin（$\frac{π}{3}$+2x），
∴f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
（3）在閉區(qū)間[-$\frac{π}{3}，\frac{π}{2}$]上，2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，故當2x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$時，函數(shù)y取得最小值為2×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-$\sqrt{3}$；
故當2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)y取得最大值為2×1=2．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．