Question

10．在某市今年的公務(wù)員考試成績(jī)中隨機(jī)抽取500名考生的筆試成績(jī)，按成績(jī)分組，得到的頻率分布表如下圖所示．

組號(hào)	分組	頻數(shù)	頻率
第1組	[160，165）	25	0.050
第2組	[165，170）	175	0.350
第3組	[170，175）	150
第4組	[175，180）		0.200
第5組	[180，185）	50	0.100
合計(jì)		500	1000

（1）為了能選拔出最優(yōu)秀的公務(wù)員，政府在筆試成績(jī)的第3、4、5組中用分層抽樣抽取12名考生進(jìn)入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪選拔？
（2）在（1）的前提下，政府的3個(gè)下屬機(jī)關(guān)決定先后用相同的方式在12名考生中隨機(jī)抽取2名考生接受考官的面試，記抽取到第5組的A考生面試的下屬機(jī)關(guān)的個(gè)數(shù)為x，求的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合圖標(biāo)求出成績(jī)?cè)赱175，180）內(nèi)的人數(shù)，然后利用分層抽樣求得第3、4、5組抽取的人數(shù)；
（2）首先求出從12名考生中，隨機(jī)抽取2人，抽取到第5組的考生A面試的概率，再利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求得x取0，1，2，3時(shí)的概率，列出頻率分布表，代入期望公式求期望．

解答 解：（1）由頻率分布表可知，乘積在[175，180）內(nèi)的人數(shù)為100人，
則第3、4、5組的總?cè)藬?shù)為150+100+50=300人，抽取12人，所占比例為$\frac{1}{25}$．
則第3、4、5組抽取的人數(shù)分別為$150×\frac{1}{25}=6$、$100×\frac{1}{25}=4$、$50×\frac{1}{25}=2$人；
（2）從12名考生中，隨機(jī)抽取2人，抽取到第5組的考生A面試的概率為P=$\frac{{C}_{1}^{1}•{C}_{11}^{1}}{{C}_{12}^{2}}=\frac{1}{6}$．
3個(gè)機(jī)關(guān)先后用同樣的方式來(lái)抽取，可看成3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，
故x～（3，$\frac{1}{6}$），
x的所有可能取值為0，1，2，3．
P（x=0）=${C}_{3}^{0}•（\frac{5}{6}）^{3}=\frac{125}{216}$，P（x=1）=${C}_{3}^{1}•\frac{1}{6}•（\frac{5}{6}）^{2}=\frac{75}{216}$，P（x=2）=${C}_{3}^{2}•（\frac{1}{6}）^{2}•\frac{5}{6}=\frac{15}{216}$，P（x=3）=${C}_{3}^{3}•（\frac{1}{6}）^{3}=\frac{1}{216}$．
其分布列如圖：

X	0	1	2	3
P	$\frac{125}{216}$	$\frac{75}{216}$	$\frac{15}{216}$	$\frac{1}{216}$

Ex=$0×\frac{125}{216}+1×\frac{75}{216}+2×\frac{15}{216}+3×\frac{1}{216}=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)變量的期望的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量的期望表征了隨機(jī)變量取值的平均值，考查了獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，是中檔題．