Question

7．如圖M是棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱DD₁的中點．
（1）證明：AC₁⊥CD₁；
（2）求A₁到平面AC₁M的距離．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)C₁D，通過證明CD₁⊥平面ADC₁，然后利用直線與哦買瓷磚的性質(zhì)定理證明AC₁⊥CD₁；
（2）連結(jié)A₁C₁，A₁M，通過${V}_{{A}_{1}-{AMC}_{1}}={V}_{{C}_{1}-{AMA}_{1}}$，列出方程然后求解A₁到平面AC₁M的距離．

解答 解：（1）連結(jié)C₁D，由正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的性質(zhì)可得：CD₁⊥C₁D，且AD⊥平面DCC₁D₁，
又CD₁?平面DCC₁D₁，CD₁⊥AD，又DC₁∩AD=D，∴CD₁⊥平面ADC₁，AC₁?平面ADC₁，
∴AC₁⊥CD₁；
（2）連結(jié)A₁C₁，A₁M，
因為M是棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱DD₁的中點，
所以AM=C₁M=$\sqrt{5}$，AC₁=2$\sqrt{3}$，則${S}_{{△AMC}_{1}}=\sqrt{6}$．
又${S}_{{△AMC}_{1}}=\frac{1}{2}{AA}_{1}•AD=2$，
設(shè)A₁到平面AC1M的距離為d，
由${V}_{{A}_{1}-{AMC}_{1}}={V}_{{C}_{1}-{AMA}_{1}}$，
可得$\frac{1}{3}×\sqrt{6}d=\frac{1}{3}×2×2$，
所以d=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判斷與性質(zhì)定理的應(yīng)用，點線面距離的求法，幾何體的體積的求法，考查計算能力以及邏輯推理能力．