Question

6．某漁場有一邊長為20m的正三角形湖面ABC（如圖所示），計劃筑一條筆直的堤壩DE將水面分成面積相等的兩部分，以便進行兩類水產(chǎn)品養(yǎng)殖試驗（D在AB上，E在AC上）．
（1）為了節(jié)約開支，堤壩應(yīng)盡可能短，請問該如何設(shè)計？堤壩最短為多少？
（2）將DE設(shè)計為景觀路線，堤壩應(yīng)盡可能長，請問又該如何設(shè)計？

Answer 1

分析 設(shè)AD為x米，由題意和三角形的面積公式，可得AE，求得x的范圍，在△ADE中，
由余弦定理可得ED²=x²+$\frac{40000}{{x}^{2}}$-200，可令f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{40000}{{x}^{2}}-200}$，令t=x²，100≤t≤400，則$f（t）=t+\frac{40000}{t}-200$，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最值，即可得到（1）、（2）的結(jié)論．

解答 解：設(shè)AD為x米，則${S_{△ABE}}=\frac{1}{2}{S_{△ABC}}$
$⇒\frac{1}{2}•x•AE•sin\frac{π}{3}=\frac{1}{2}•（\frac{1}{2}•{20^2}•sin\frac{π}{3}）$$⇒AE=\frac{200}{x}$，
由$\left\{\begin{array}{l}0＜x≤20\\ 0＜\frac{200}{x}≤20\end{array}\right.$得，10≤x≤20，
在△ADE中，由余弦定理可得ED²=x²+$\frac{40000}{{x}^{2}}$-200，
可令f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{40000}{{x}^{2}}-200}$，
令t=x²，100≤t≤400，
則$f（t）=t+\frac{40000}{t}-200$，
f′（t）=1-$\frac{40000}{{t}^{2}}$，
令f′（t）＞0得，200＜t≤400，f′（t）＜0得，100≤t＜200，
∴f（t）在[100，200）單調(diào)遞減，在（200，400]單調(diào)遞增，
$f{（x）_{min}}=f（10\sqrt{2}）=200{m^2}$；
$f{（x）_{max}}=max\{f（10），f（20）\}=300{m^2}$，
∴（1）當(dāng)AD為10$\sqrt{2}$時，堤壩最短$10\sqrt{2}m$；
（2）當(dāng)點D為AB中點或與點B重合時，堤壩最長$10\sqrt{3}m$．

點評 本題考查函數(shù)模型在實際問題中的運用，考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和最值，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．