Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{a}^{x}+1}{{a}^{x}-1}$（a＞0，且a≠1）．
（1）求f（x）的定義域和值域；
（2）討論f（x）的奇偶性；
（3）當(dāng)a=2時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用定義證明．

Answer 1

分析 （1）利用分母不為0，求出f（x）的定義域，f（x）=$\frac{{a}^{x}+1}{{a}^{x}-1}$=1+$\frac{2}{{a}^{x}-1}$，即可求出值域；
（2）利用奇偶性的定義，即可判斷；
（3）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）變形后易判＞0，由單調(diào)性的定義可得．

解答 解：（1）由a^x-1≠0，可得x≠0，∴f（x）的定義域是{x|x≠0}；
f（x）=$\frac{{a}^{x}+1}{{a}^{x}-1}$=1+$\frac{2}{{a}^{x}-1}$∈（-∞，-1）∪（1，+∞）．
（2）f（-x）=$\frac{{a}^{-x}+1}{{a}^{-x}-1}$=-$\frac{{a}^{x}+1}{{a}^{x}-1}$=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)；
（3）a=2時，f（x）=1+$\frac{2}{{2}^{x}-1}$在（-∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞減，
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=1+$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}-1}$-1-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}-1}$
=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}$＞0，
∴f（x）=1+$\frac{2}{{2}^{x}-1}$在（0，+∞）上單調(diào)遞減．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，考查函數(shù)的奇偶性、定義域和值域，屬中檔題．