Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)任意正整數(shù)n，都有S_n=$\frac{{a}_{n}-1}{λ}$（λ≠0.1）．
（Ⅰ）求證：{a_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）若λ=$\frac{1}{2}$，且b_n=$\frac{1}{lo{g}_{4}{a}_{n}•lo{g}_{4}{a}_{n+1}}$，{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，化簡(jiǎn)整理，再由等比數(shù)列的定義，即可得證；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)b_n=$\frac{4}{n（n+1）}$=4（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），再由裂項(xiàng)相消求和，即可得到所求T_n．

解答 解：（Ⅰ）證明：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=$\frac{{a}_{1}-1}{λ}$，
解得a₁=$\frac{1}{1-λ}$，
當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{a}_{n}-1}{λ}$-$\frac{{a}_{n-1}-1}{λ}$，
可得a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{1-λ}$，
由等比數(shù)列的定義可得，{a_n}為首項(xiàng)是$\frac{1}{1-λ}$，公比為$\frac{1}{1-λ}$的等比數(shù)列；
（Ⅱ）λ=$\frac{1}{2}$，且b_n=$\frac{1}{lo{g}_{4}{a}_{n}•lo{g}_{4}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{lo{g}_{4}{2}^{n}•lo{g}_{4}{2}^{n+1}}$
=$\frac{4}{n（n+1）}$=4（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
則T_n=4（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=4（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{4n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的判斷，考查數(shù)列的通項(xiàng)和求和的關(guān)系，同時(shí)考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．