Question

10．（1）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\sqrt{3}$）和點(diǎn)（$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，1），求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±$\sqrt{3}$，0），并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，1），求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（3）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，-3）且與橢圓9x²+4y²=36有共同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（4）若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁（-4，0）、F₂（4，0），橢圓的弦AB過(guò)點(diǎn)F₁，且△ABF₂的周長(zhǎng)為20，求該橢圓的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為mx²+ny²=1，（其中m、n為正數(shù)且m≠n），代點(diǎn)解m和n可得；
（2）由題意可得c=$\sqrt{3}$，且橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{^{2}+3}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，代入點(diǎn)（2，1）求b²可得；
（3）先得已知橢圓的焦點(diǎn)，可設(shè)所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}+5}$=1，代入點(diǎn)（2，-3）求b²可得；
（4）由題意可得c=4，且橢圓焦點(diǎn)在x軸，由三角形周長(zhǎng)和橢圓定義可得a值，進(jìn)而求解b²可得．

解答 解：（1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為mx²+ny²=1，（其中m、n為正數(shù)且m≠n），
∵橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\sqrt{3}$）和點(diǎn)（$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}m+3n=1}\\{\frac{8}{9}m+n=1}\end{array}\right.$，解方程組可得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=\frac{1}{9}}\end{array}\right.$，
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1
（2）由題意可得c=$\sqrt{3}$，且橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{^{2}+3}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
代入點(diǎn)（2，1）可得$\frac{4}{^{2}+3}$+$\frac{1}{^{2}}$=1，解得b²=3，
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（3）橢圓9x²+4y²=36可化為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
可得其焦點(diǎn)為（0，-$\sqrt{5}$）和（0，$\sqrt{5}$），
∴可設(shè)所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}+5}$=1，
代入點(diǎn)（2，-3）可得$\frac{4}{^{2}}$+$\frac{9}{^{2}+5}$=1，解得b²=10，
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{15}$=1；
（4）由題意可得c=4，且橢圓焦點(diǎn)在x軸，
△ABF₂的周長(zhǎng)l=AB+BF₂+AF₂=AF₁+BF₁+BF₂+AF₂
=（AF₁+AF₂）+（BF₁+BF₂）=2a+2a=4a=20，
∴a=5，∴b²=a²-c²=25-16=9，
∴所求橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，涉及橢圓的定義和設(shè)置標(biāo)準(zhǔn)方程的技巧，屬中檔題．