Question

11．已知如圖所示，AB⊥平面HCD、DE⊥平面HCD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F(xiàn)、G分別是CE、CD的中點．求證：
（1）BF⊥平面CDE；
（2）求平面HCD與平面HCE所成的二面角的大�。�

Answer 1

分析 （1）AB⊥平面HCD、DE⊥平面HCD，可得AB∥DE，再利用三角形中位線定理及平行四邊形判定定理可得：四邊形ABFG是平行四邊形，可得BF∥AG．利用等邊三角形的性質(zhì)可得：AG⊥DC，再利用線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得：AG⊥平面CDE．即可證明．
（2）由（1）可得：$AB\underset{∥}{=}\frac{1}{2}DE$，于是AB是△HDE的中位線，A是HD的中點，可得HC⊥平面CDE，因此∠DCE是平面HCD與平面HCE所成的二面角的平面角．利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．

解答 （1）證明：∵AB⊥平面HCD、DE⊥平面HCD，∴AB∥DE，
∵F、G分別是CE、CD的中點，∴FG∥DE，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$DE=1，
∴AB∥FG，AB=FG=1，
∴四邊形ABFG是平行四邊形，
∴BF∥AG．
∵AC=AD=CD，DG=GC，
∴AG⊥DC，
∵DE⊥平面HCD，DE?平面CDE，
∴平面CDE∩平面HCD=CD，
∴AG⊥平面CDE．
∴BF⊥平面CDE；
（2）解：由（1）可得：$AB\underset{∥}{=}\frac{1}{2}DE$，
∴AB是△HDE的中位線，∴A是HD的中點，
∴HC∥AG，
∴HC⊥平面CDE，
∴∠DCE是平面HCD與平面HCE所成的二面角的平面角．
∵ED⊥DC，ED=DC．
∴∠DCE=45°．
∴平面HCD與平面HCE所成的二面角是45°．

點評 本題考查了線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、三角形中位線定理及平行四邊形判定定理、等邊三角形的性質(zhì)、二面角的平面角、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．