Question

函數(shù)f(x)=lg

x2+1

|x|

（x≠0，x∈R）有如下命題：
（1）函數(shù)y=f（x）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）是增函數(shù)，x＜0時(shí)，f（x）是減函數(shù)．
（3）函數(shù)f（x）的最小值是lg2．
（4）f（x）無(wú)最大值，也無(wú)最小值．
其中正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專(zhuān)題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）判斷函數(shù)是否為偶函數(shù)即可．
（2）將復(fù)合函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本函數(shù)，令t=x+

1

x

（x＞0），易知在（0，1]上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)．
（3）由t=x+

1

x

≥2（x＞0）及偶函數(shù)性質(zhì)可知（3）正確．
（4）由（3）可作出判斷．

解答： 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），
又滿(mǎn)足f（-x）=f（x），∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，（1）正確．
（2）x＞0時(shí)，f（x）=lg（x+

1

x

），令t=x+

1

x

（x＞0），在（0，1]上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)，（2）不正確．
（3）∵t=x+

1

x

≥2，又f（x）是偶函數(shù)，∴函數(shù)f（x）的最小值是lg2，（3）正確．
（4）由（3）知，（4）不正確．
故答案為：（1）（3）．

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)多個(gè)命題來(lái)考查函數(shù)復(fù)合函數(shù)的研究方法，涉及了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，最值等，知識(shí)點(diǎn)，方法靈活，要細(xì)心耐心．