Question

16．已知冪函數(shù)f（x）=x${\;}^{{m}^{2}-2m-3}$（m∈N^*）的圖象關于y軸對稱，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，則滿足（a+1）${\;}^{-\frac{m}{3}}$＜（3-2a）${\;}^{-\frac{m}{3}}$的a的取值范圍是（-∞，-1）∪（$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）對稱性及單調(diào)性求出m的值，判斷出y=x${\;}^{-\frac{m}{3}}$的單調(diào)性，從而得出a+1和3-2a的關系．

解答 解：∵f（x）=x${\;}^{{m}^{2}-2m-3}$（m∈N^*）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴m²-2m-3＜0，
解得-1＜m＜3．
∵m∈N${\;}^{{\;}^{+}}$，
∴m=1，或m=2．
又∵f（x）=x${\;}^{{m}^{2}-2m-3}$（m∈N^*）的圖象關于y軸對稱，
∴m²-2m-3是偶數(shù)，
∴m=1．
∵g（x）=x${\;}^{-\frac{1}{3}}$在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是減函數(shù)，
且當x＜0時，g（x）＜0，當x＞0時，g（x）＞0，
（a+1）${\;}^{-\frac{m}{3}}$＜（3-2a）${\;}^{-\frac{m}{3}}$，
∴0＞a+1＞3-2a，或a+1＞3-2a＞0，或a+1＜0＜3-2a，
解得$\frac{2}{3}$＜a＜$\frac{3}{2}$或a＜-1．
故答案為（-∞，-1）∪（$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題考查了冪函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應用，屬于中檔題．