Question

17．如圖，已知A、B、C、D為拋物線E：x²=2py（p＞0）上不同四點(diǎn)，其中A、D關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)D作拋物線E的切線l和直線BC平行．
（Ⅰ）求證：AD平分∠CAB；
（Ⅱ）若p=2，點(diǎn)D到直線AB、AC距離和為$\sqrt{2}$|AD|，三角形ABC面積為128，求BC的直線方程．

Answer 1

分析 （1）A（-x₀，y₀），D（x₀，y₀）B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），證明k_AC+k_AB=$\frac{{x}_{2}-{x}_{0}}{2p}$+$\frac{{x}_{1}-{x}_{0}}{2p}$=0，由此能推導(dǎo)出∠BAC的角平分線在直線AD上．
（2）設(shè)∠BAD=∠CAD=α，則m=n=|AD|sinα，α=$\frac{π}{4}$，由此能推導(dǎo)出直線BC的方程．

解答 （1）證明：設(shè)A（-x₀，y₀），D（x₀，y₀）B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∵y′=$\frac{x}{p}$，∴k_BC=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2p}$=$\frac{{x}_{0}}{p}$，∴x₁+x₂=2x₀，
k_AC=$\frac{{x}_{2}-{x}_{0}}{2p}$．k_AB=$\frac{{x}_{1}-{x}_{0}}{2p}$，
∴k_AC+k_AB=$\frac{{x}_{2}-{x}_{0}}{2p}$+$\frac{{x}_{1}-{x}_{0}}{2p}$=0，
所以直線AC和直線AB的傾斜角互補(bǔ)，所以∠BAD=∠CAD，
∴∠BAC的角平分線在直線AD上（6分）
（2）解：∠BAD=∠CAD=α
則m=n=|AD|sinα，∴sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴α=$\frac{π}{4}$，
∴直線AC的方程：y-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$=x+x₀，即y=x+$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+x₀，
把直線AC與拋物線方程x²=4y聯(lián)立的x²-4x-4x₀-x₀²=0∴-x₀x₂=-4x₀-x₀²∴x₂=x₀+4
同理可得x₁=x₀-4，
∵-x₀＜x₀-4＜x₀，∴x₀＞2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{3}\sqrt{2}（4+2{x}_{0}）•\sqrt{2}（2{x}_{0}-4）$=$4（{{x}_{0}}^{2}-4）$=128，
∴x₀=6（10分）
∴B（2，1），k_BC=3，∴l(xiāng)_BC：3x-y-5=0（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．