Question

19．如圖，拋物線C₁：x²=2py（p＞0）的焦點為F，橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=l （a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，C₁與C₂在第一象限的交點為P（2，1）．
（Ⅰ）求拋物線C₁及橢圓C₂的方程；
（Ⅱ）已知直線l：y=kx+t（k≠0，t≠0）與橢圓C₂交于不同兩點A、B，點M滿足$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow 0$，直線FM的斜率為k₁，且k•k₁=$\frac{1}{4}$，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）借助于拋物線過點P，先求拋物線方程，再利用離心率公式，結(jié)合橢圓的a，b，c的關(guān)系，求橢圓方程；
（Ⅱ）點M滿足$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow 0$，等價于點M為線段AB的中點，由直線l與橢圓方程聯(lián)立，運用判別式大于0，以及韋達定理和中點坐標公式，結(jié)合條件得到t的不等式，運用二次不等式的解法，即可得到范圍．

解答 解：（Ⅰ）將P（ 2，1）代入x²=2py得p=2，
∴拋物線C₁的方程為x²=4y，焦點F（0，1）
把P（2，1）代入橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=l得$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1，
又e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，
∴a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，
故橢圓C₂的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）由直線l：y=kx+t與$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1聯(lián)立得，
（1+4k²）x²+8ktx+4（t²-2）=0，
△＞0得2+8k²＞t²①
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則x₁+x₂=$\frac{-8kt}{1+4{k}^{2}}$，
由題意點M為線段AB的中點，設M（x_M，y_M），
∴x_M=$\frac{-4kt}{1+4{k}^{2}}$，y_M=$\frac{t}{1+4{k}^{2}}$，
∴k₁=$\frac{t-（1+4{k}^{2}）}{-4kt}$，
∴kk₁=$\frac{t-1-4{k}^{2}}{-4t}$=$\frac{1}{4}$，
即有4k²=2t-1，
由①可得，2t-1＞$\frac{1}{2}$（t²-2），
解得0＜t＜4．
則t的取值范圍為（0，4）．

點評 本題主要考查圓錐曲線相交，求圓錐曲線方程，利用了待定系數(shù)法，同時考查了直線與曲線相交問題，向量共線的定理的運用，考查運算求解能力，屬于中檔題．