Question

10．已知（1-2x）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…a₇x⁷，
（1）求（a₀+a₂+a₄+a₆）²-（a₁+a₃+a₅+a₇）²的值；
（2）求|a_i|（其中i=1，2，…，7）的最大值．

Answer 1

分析 （1）先令已知等式中的x=1，再令x=-1將得到的兩個(gè)等式相乘得到要求的代數(shù)式的值．
（2）由條件利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，檢驗(yàn)可得|a_i|的最大值．

解答 解：（1）∵（1-2x）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…a₇x⁷，令x=1，可得a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇=-1 ①；
再令x=-1，可得 a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+a₆-a₇=3⁷ ②．
把①、②相乘，求得（a₀+a₂+a₄+a₆）²-（a₁+a₃+a₅+a₇）² =-3⁷．
（2）由于|a_i|=${C}_{7}^{i}$•2⁷ （其中i=1，2，…，7），再根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)i=4、5、6、7時(shí)，|a_i|才有可能取得最大值．
檢驗(yàn)可得，i=5時(shí)，|a_i|取得最大值為672．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求二項(xiàng)展開式的系數(shù)和問題，一般先通過觀察，然后給已知的等式中的未知數(shù)x賦合適的值，從而得到要求的式子的值，屬于基礎(chǔ)題．