Question

【題目】如圖，E，F分別為邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的邊BC，CD的中點(diǎn)，沿圖中虛線折起，使得B，C，D三點(diǎn)重合于點(diǎn)O，點(diǎn)O在平面AEF上的射影H.

（1）求證：面面OEA；

（2）求證：點(diǎn)H是的垂心；

（3）求OH的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）通過證明平面后，再利用面面垂直的判定定理可證；

（2）連接，延長(zhǎng)交于，根據(jù)已知可證，同理可證，根據(jù)垂心的定義可知結(jié)論正確；

（3）利用等體積法可求得結(jié)果.

（1）因?yàn)?/span>，所以，

又，所以平面，

又平面，所以面面OEA

（2）連接，延長(zhǎng)交于，

因?yàn)?/span>，且，

所以平面，所以，

因?yàn)?/span>是在平面AEF上的射影，所以平面，

所以，

因?yàn)?/span>，所以平面，所以，

同理可證，

所以點(diǎn)H是的垂心

（3）因?yàn)?/span>

=，

所以，所以.