【題目】已知(x+1)n=a0+a1(x﹣1)+a2(x﹣1)2+a3(x﹣1)3+…+an(x﹣1)n , (其中n∈N*
(1)求a0及Sn=a1+2a2+3a3+…+nan;
(2)試比較Sn與n3的大小,并說明理由.

【答案】
(1)解:取x=1,可得

對等式兩邊求導(dǎo),得

取x=2,則


(2)解:要比較Sn與n3的大小,即比較:3n1與n2的大小,

當(dāng)n=1,2時,3n1<n2 當(dāng)n=3時,3n1=n2;當(dāng)n=4,5時,3n1>n2

猜想:當(dāng)n≥4時,3n1>n2,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

由上述過程可知,n=4時結(jié)論成立,

假設(shè)當(dāng)n=k,(k≥4)時結(jié)論成立,即3k1>k2,

當(dāng)n=k+1時,3k+1)﹣1=33k1>3k2

而3k2﹣(k+1)2=2k2﹣2k﹣1=2k(k﹣1)﹣1≥2×4×3﹣1=23>0,

∴3k+1)﹣1>33k1>3k2>(k+1)2,故當(dāng)n=k+1時結(jié)論也成立,

∴當(dāng)n≥4時,3n1>n2成立.

綜上得,當(dāng)n=1,2時, ; 當(dāng)n=3時, ;當(dāng)n≥4,n∈N*時,


【解析】(1)取x=1,即可求得 a0的值.對所給的等式兩邊求導(dǎo),再取x=2,可得Sn的值.(2)要比較Sn與n3的大小,即比較:3n1與n2的大小,當(dāng)n=1,2時,3n1<n2; 當(dāng)n=3時,3n1=n2; 當(dāng)n=4,5時,3n1>n2 . 猜想:當(dāng)n≥4時,3n1>n2 , 再用數(shù)學(xué)歸納法證明.
【考點精析】通過靈活運用數(shù)列的前n項和,掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系即可以解答此題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

(1)若關(guān)于的不等式上恒成立,求的取值范圍;

(2)設(shè)函數(shù),若上有兩個不同極值點,求的取值范圍,并判斷極值的正負(fù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在統(tǒng)計學(xué)中,偏差是指個別測定值與測定的平均值之差,在成績統(tǒng)計中,我們把某個同學(xué)的某刻考試成績與該科班平均分的差叫某科偏差,班主任為了了解個別學(xué)生的偏科情況,對學(xué)生數(shù)學(xué)偏差(單位:分)與物理偏差(單位:分)之間的關(guān)系進(jìn)行偏差分析,決定從全班40位同學(xué)中隨機(jī)抽取一個容量為8的樣本進(jìn)行分析,得到他們的兩科成績偏差數(shù)據(jù)如表:

(1)已知之間具有線性相關(guān)關(guān)系,求關(guān)于的線性回歸方程;

(2)若這次考試該班數(shù)學(xué)平均分為120分,物理平均分為92,試預(yù)測數(shù)學(xué)成績126分的同學(xué)的物理成績.

參考公式: ,

參考數(shù)據(jù): ,

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知關(guān)于x的函數(shù)
(1)如果函數(shù) ,求b、c;
(2)設(shè)當(dāng)x∈( ,3)時,函數(shù)y=f(x)﹣c(x+b)的圖象上任一點P處的切線斜率為k,若k≤2,求實數(shù)b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;

Ⅱ)把的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再把得到的圖象向左平移個單位,得到函數(shù)的圖象,求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知△ABC的頂點A(5,1),AB邊上的中線CM所在直線方程為2x﹣y﹣5=0,∠B的平分線BN所在直線方程為x﹣2y﹣5=0.求:
(1)頂點B的坐標(biāo);
(2)直線BC的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,M,N分別是BC1 , CD1的中點,則下列說法錯誤的是(
A.MN與CC1垂直
B.MN與AC垂直
C.MN與BD平行
D.MN與A1B1平行

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)在點處的切線為

1)求實數(shù), 的值;

2)是否存在實數(shù),當(dāng)時,函數(shù)的最小值為,若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由;

3)若,求證:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),且

當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

若函數(shù)有最值,寫出的取值范圍.(只需寫出結(jié)論

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