Question

已知雙曲線C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右頂點為A₂，右焦點為F₂，離心率為

5

4

，拋物線C₂：y²=2px（p＞0）上一點P（3，m）到其焦點F的距離為7，且F與A₂重合．
（1）求C₁，C₂的方程；
（2）求C₁的漸近線與C₂的準線所圍成的三角形的面積；
（3）設過F₂傾斜角為135°的直線交C₂于A，B兩點，求AB的長度．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）求出拋物線的焦點、準線，由拋物線的定義可得p，可得a，再由離心率公式可得c，進而得到b，即有拋物線方程和雙曲線方程；
（2）求出雙曲線的漸近線方程和拋物線的準線方程，求得交點，再由三角形的面積公式計算即可得到；
（3）求出直線AB的方程，聯(lián)立拋物線方程求得交點，由兩點的距離公式計算即可得到．

解答： 解：（1）雙曲線C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右頂點為A₂（a，0），右焦點為F₂（c，0），
而拋物線C₂：y²=2px（p＞0）的焦點為（

p

2

，0），準線方程為x=-

p

2

，
由拋物線的定義可得|PF|=3+

p

2

=7，解得p=8，
則F（4，0），即有a=4，
由于雙曲線的離心率為

5

4

，即

c

a

=

5

4

，則c=5，b=

c2-a2

=3．
則雙曲線C₁：

x2

16

-

y2

9

=1，拋物線C₂：y²=16x；
（2）雙曲線的漸近線方程為y=±

3

4

x，拋物線的準線為x=-4，
則它們的交點為（-4，3），（-4，-3），
則圍成的三角形的面積為

1

2

×4×6=12；
（3）過F₂（5，0），傾斜角為135°的直線為y-0=-1（x-5），即為y=5-x，
代入拋物線方程，可得x²-26x+25=0，
解得x=1或25，
可設A（1，4），B（25，-20），
即有|AB|=

(1-25)2+(4+20)2

=24

2

．

點評：本題考查拋物線和雙曲線的定義、方程和性質，考查漸近線方程和準線方程的運用，考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，解方程求交點，考查運算能力，屬于基礎題．