Question

2．如圖，在平面四邊形ABCD中，若AB=1，BC=$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$DC，∠ACD=90°，則對(duì)角線BD的最大值為3．

Answer 1

分析 設(shè)∠ABC=α，∠ACB=β，則在△ABC中，由余弦定理得AC²=3-2$\sqrt{2}$cosα．
由正弦定理得$\frac{AB}{sinβ}=\frac{AC}{sinα}$，即sinβ=$\frac{sinα}{AC}$
在△BCD中，可得BD²=BC²+CD²-2BC•CD•cos（90⁰+β）=2+3-2$\sqrt{2}$cosα+2×$\sqrt{2}$×AC×$\frac{sinα}{AC}$=5+2$\sqrt{2}（sinα-cosα）$=5+4sin（$α-\frac{π}{4}$）即可求解．

解答 解：設(shè)∠ABC=α，∠ACB=β，則在△ABC中，由余弦定理得AC²=3-2$\sqrt{2}$cosα．
由正弦定理得$\frac{AB}{sinβ}=\frac{AC}{sinα}$，即sinβ=$\frac{sinα}{AC}$
∵AD=$\sqrt{2}$DC，∠ACD=90°，∴AC=CD
在△BCD中，由余弦定理得：BD²=BC²+CD²-2BC•CD•cos（90⁰+β）
即DB²=2+3-2$\sqrt{2}$cosα+2×$\sqrt{2}$×AC×$\frac{sinα}{AC}$=5+2$\sqrt{2}（sinα-cosα）$
=5+4sin（$α-\frac{π}{4}$）
∴當(dāng)α=$\frac{3π}{4}$時(shí)，對(duì)角線BD最大，最大值為3，
故答案為：3

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正余弦定理的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想，屬于難題．