Question

7．為了整頓道路交通秩序，某地考慮對(duì)行人闖紅燈進(jìn)行處罰，為更加詳細(xì)闖紅燈人數(shù)的作用，在某一個(gè)路口進(jìn)行了五天試驗(yàn)，得到當(dāng)天的處罰金額與當(dāng)天闖紅燈人數(shù)

當(dāng)天處罰金額x（單位：元）	0	5	10	15	20
當(dāng)天闖紅燈的人數(shù)y	80	50	40	20	10

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，建立當(dāng)天闖紅燈人數(shù)y關(guān)于當(dāng)天處罰金額x的回歸直線方程；
（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，上述路口每天經(jīng)過的行人約為400人，每人闖紅燈的可能性相同，在行0元處罰的情況下，記甲、乙、丙三人中闖紅燈的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望相互獨(dú)立）．
附：回歸直線方程中系數(shù)計(jì)算公式b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n\overline{{x}^{2}}}$，$\overline{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）由已知求出$\overline{x}$，$\overline{y}$，$\sum _{i=1}^{5}$x_iy_i，$\sum _{i=1}^{5}$${x}_{i}^{2}$，代入回歸系數(shù)公式，求出回歸系數(shù)，可得回歸方程；
（2）由已知可得每人闖紅燈的概率為$\frac{1}{5}$，進(jìn)而得到X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由已知可得：$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（0+5+10+15+20）=10，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（80+50+40+20+10）=40，
$\sum _{i=1}^{5}$x_iy_i=0×80+5×50+10×40+15×20+20×10=1150，
$\sum _{i=1}^{5}$${x}_{i}^{2}$=0+25+100+225+400=750，
∴$\hat$=$\frac{\sum _{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}-5\overline{x}\overline{y}}{\sum _{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}-5\overline{{x}^{2}}}$=$\frac{1150-5×10×40}{750-5×10×10}$=$-\frac{17}{5}$，
$\hat{a}$=$\overline{y}$-$\hat$$\overline{x}$=40-（$-\frac{17}{5}$）×10=74，
故回歸直線方程$\hat{y}$=$-\frac{17}{5}$x+74；
（2）上述路口每天經(jīng)過的行人約為400人，在行0元處罰的情況下，闖紅燈的人數(shù)為80，
故每人闖紅燈的概率為$\frac{1}{5}$，
記甲、乙、丙三人中闖紅燈的人數(shù)為X，則X的取值可能為：0，1，2，3，
其中P（X=0）=$（1-\frac{1}{5}）^{3}$=$\frac{64}{125}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$${\frac{1}{5}（1-\frac{1}{5}）}^{2}$=$\frac{48}{125}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}$${（\frac{1}{5}）}^{2}$${（1-\frac{1}{5}）}^{\;}$=$\frac{12}{125}$，
P（X=3）=${（\frac{1}{5}）}^{3}$=$\frac{1}{125}$，
X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{64}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{1}{125}$

故E（X）=0×$\frac{64}{125}$+1×$\frac{48}{125}$+2×$\frac{12}{125}$+3×$\frac{1}{125}$=$\frac{75}{125}$=$\frac{3}{5}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性回歸方程，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．