Question

8．已知f（x）=x²-2|x|（x∈R）．
（1）若方程f（x）=kx有三個(gè)解，試求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，n（m＜n），使函數(shù)f（x）的定義域與值域均為[m，n]？若存在，求出所有的區(qū)間[m，n]，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)形結(jié)合，分別在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫(huà)出f（x）和y=kx的圖象，觀察滿足條件的k 的范圍；
（2）分別討論x的情況，得到對(duì)應(yīng)的方程的根，借助于圖象直觀的找出滿足條件的m，n．

解答 解：（1）若方程f（x）=kx有三個(gè)解，當(dāng)x=0時(shí)，方程x²-2|x|=kx成立，即x=0是方程的一個(gè)根；
當(dāng)x≠0時(shí)，等價(jià)于方程x²-2|x|=kx有兩個(gè)不相等的實(shí)根，即k=x-$\frac{2|x|}{x}$，設(shè)g（x）=$x-\frac{2|x|}{x}$，則g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-2，x＞0}\\{x+2，x＜0}\end{array}\right.$，作出g（x）的圖象，如
當(dāng)-2＜k＜2時(shí)滿足k=x-$\frac{2|x|}{x}$，有兩個(gè)不等的實(shí)根，
綜上實(shí)數(shù)k的取值范圍是-2＜k＜2；
（2）由題意，函數(shù)的值域?yàn)閇-1，+∞），要使函數(shù)f（x）的定義域與值域均為[m，n]，則m≥-1，且f（x）至少有兩個(gè)根，
當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x即x²-2x=x，解得x=0或者x=3；
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x即x²+2x=x，解得x=0或者x=-1，
f（x）的圖象如圖，由圖象可知區(qū)間[0，3]不成立；
所以存在m=1，n=0時(shí)，即定義域?yàn)閇-1，0]，此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)閇-1，0]，滿足條件；
m=-1，n=3時(shí)，即定義域?yàn)閇-1，3]時(shí)，值域?yàn)閇-1，3]，滿足條件．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與方程的根的問(wèn)題；借助于數(shù)形結(jié)合的方法使得直觀易懂；屬于中檔題．