Question

8．已知f（x）=x²-2|x|（x∈R）．
（1）若方程f（x）=kx有三個解，試求實數(shù)k的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)m，n（m＜n），使函數(shù)f（x）的定義域與值域均為[m，n]？若存在，求出所有的區(qū)間[m，n]，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)形結合，分別在同一個坐標系中畫出f（x）和y=kx的圖象，觀察滿足條件的k 的范圍；
（2）分別討論x的情況，得到對應的方程的根，借助于圖象直觀的找出滿足條件的m，n．

解答 解：（1）若方程f（x）=kx有三個解，當x=0時，方程x²-2|x|=kx成立，即x=0是方程的一個根；
當x≠0時，等價于方程x²-2|x|=kx有兩個不相等的實根，即k=x-$\frac{2|x|}{x}$，設g（x）=$x-\frac{2|x|}{x}$，則g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-2，x＞0}\\{x+2，x＜0}\end{array}\right.$，作出g（x）的圖象，如
當-2＜k＜2時滿足k=x-$\frac{2|x|}{x}$，有兩個不等的實根，
綜上實數(shù)k的取值范圍是-2＜k＜2；
（2）由題意，函數(shù)的值域為[-1，+∞），要使函數(shù)f（x）的定義域與值域均為[m，n]，則m≥-1，且f（x）至少有兩個根，
當x≥0時，f（x）=x即x²-2x=x，解得x=0或者x=3；
當x＜0時，f（x）=x即x²+2x=x，解得x=0或者x=-1，
f（x）的圖象如圖，由圖象可知區(qū)間[0，3]不成立；
所以存在m=1，n=0時，即定義域為[-1，0]，此時函數(shù)的值域為[-1，0]，滿足條件；
m=-1，n=3時，即定義域為[-1，3]時，值域為[-1，3]，滿足條件．

點評 本題考查了函數(shù)的性質與方程的根的問題；借助于數(shù)形結合的方法使得直觀易懂；屬于中檔題．