設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an=
Sn
n
+n-1.
(1)求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列,并寫出an與Sn的關(guān)于n的表達(dá)式;
(2)設(shè)數(shù)列{
1
anan+1
}的前n項(xiàng)和為Tn,證明:
1
3
≤Tn
1
2

(3)是否存在自然數(shù)n,使得2S1+
2S2
2
+
2Sn
n
-(n-2)2=2011.
考點(diǎn):數(shù)列的求和
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)根據(jù)等差數(shù)列的定義,結(jié)合an與Sn的關(guān)系即可得到結(jié)論;
(2)求出數(shù)列{
1
anan+1
}的通項(xiàng)公式,利用裂項(xiàng)法即可求出數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,從而即可證明不等式
1
3
≤Tn
1
2
成立;
(3)解方程,利用一元二次方程根與判別式之間的關(guān)系即可得到結(jié)論.
解答: 解:(1)∵an=
Sn
n
+n-1,時(shí)Sn=nan-n2+n,
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=nan-n2+n-[(n-1)an-1-(n-1)2+n-1],
整理得(n-1)an-(n-1)an-1+2-2n=0,
即an-an-1=2,
則數(shù)列{an}為公差d=2的等差數(shù)列,則an=1+2(n-1)=2n-1,
則Sn=nan-n2+n=n(2n-1)-n2+n=n2
(2)∵
1
anan+1
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
1
2n-1
-
1
2n+1
),
∴Tn=
1
2
(1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+…+
1
2n-1
-
1
2n+1
)=
1
2
(1-
1
2n+1
1
2
,
當(dāng)n=1時(shí),T1=
1
1×3
=
1
3

1
3
≤Tn
1
2
成立.
(3)∵Sn=n2,
∴若2S1+
2S2
2
+
2Sn
n
-(n-2)2=2011,
則n2-6n+2009=0,則判別式△=36-4×2009<0,
∴方程無解.故不存在自然數(shù)n,使得2S1+
2S2
2
+
2Sn
n
-(n-2)2=2011.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查等差數(shù)列的判斷,以及利用裂項(xiàng)法進(jìn)行數(shù)列求和,考查學(xué)生的計(jì)算能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
4
+
y2
3
=1左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,連結(jié)橢圓上不同兩點(diǎn)A,B滿足AB∥x軸,過點(diǎn)A作AF2的垂線l1,過點(diǎn)B作BF2的垂線l2.且l1,l2的交點(diǎn)為C.
(1)求△ABF2面積的最大值;
(2)求證:過點(diǎn)A,B,C的圓D的在x軸上截得的弦長為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知PA⊥面ABCD,PA=AB=AD=
1
2
CD,∠BAD=∠ADC=90°;
(1)在線段PC上找一點(diǎn)M,使BM⊥面PCD.
(2)求由面PBC與面PAD所成角的二面角的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

全美職業(yè)籃球聯(lián)賽(NBA)某年度總決賽在雷霆隊(duì)與邁阿密熱火隊(duì)之間角逐,比賽采用七局四勝制,即若有一隊(duì)先勝四場(chǎng),則此隊(duì)獲勝,比賽就此結(jié)束.因兩隊(duì)實(shí)力相當(dāng),故每場(chǎng)比賽獲勝的可能性相等.據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì),第一場(chǎng)比賽組織者可獲門票收入2000萬美元,以后每場(chǎng)比賽門票收入比上場(chǎng)增加100萬美元,當(dāng)兩隊(duì)決出勝負(fù)后,問:
(1)組織者在此次決賽中要獲得門票收入不少于13500萬元的概率為多少?
(2)某隊(duì)在比賽過程中曾一度比分落后2分以上,最后取得全場(chǎng)勝利稱為“逆襲”,求雷霆隊(duì)“逆襲”獲勝的概率;
(3)求此次決賽所需比賽場(chǎng)數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a2=6,a5=12;數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和是Sn,且Sn+
1
2
bn=1.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}通項(xiàng)公式;
(2)記cn=
-2
an•log
bn
2
,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn,若Tn
m-2012
2
對(duì)一切n∈N*都成立,求最小正整數(shù)m.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
m
=(sinθ,1),
n
=(2cosθ,1),
m
n
,求tan(
π
4
+2θ).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

平面直角坐標(biāo)系中,已知定點(diǎn)A1(-
7
,0),A2
7
,0),動(dòng)點(diǎn)B1(0,m),B2(0,
1
m
),(m∈R且m≠0),直線A1B1與直線A2B2的交點(diǎn)N的軌跡為C.
(1)求軌跡C的方程;
(2)過點(diǎn)M(
4
3
,0)的直線l交軌跡C于P、Q兩點(diǎn),以PQ為直徑的圓與y軸相切,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,若20sinA•
BC
+15sinB•
CA
+12sinC•
AB
=
0

(1)試判斷△ABC的形狀;
(2)設(shè)|
AB
|=5,點(diǎn)P是△ABC內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn),求
PA
2
+
PB
2
+
PC
2
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若數(shù)列{an}滿足:存在正整數(shù)T,對(duì)于任意正整數(shù)n都有an+T=an成立則稱數(shù)列{an}為周期數(shù)列,周期為T,已知數(shù)列{an}滿足a1=m(m>0),an+1=
an-1,an>1
1
an
,0<an≤1
則,有下列結(jié)論:
①若a3=4,則m可以取3個(gè)不同的值;
②若m=
2
,則數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列;
③對(duì)任意的T∈N*且T≥2,存在m>1,使得{an}是周期為T的數(shù)列;
④存在m∈Q且m≥2,使得數(shù)列{an}是周期數(shù)列.
其中正確的結(jié)論有
 

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