Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₂=6，a₅=12；數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和是S_n，且S_n+

1

2

b_n=1．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}通項(xiàng)公式；
（2）記c_n=

-2

an•log bn 2

，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，若T_n＜

m-2012

2

對(duì)一切n∈N^*都成立，求最小正整數(shù)m．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè){an }的公差為d，由已知條件利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組求出首項(xiàng)和公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；由已知條件推導(dǎo)出{bn }是以

2

3

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由c_n=

-2

cn•log3 bn 2

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項(xiàng)求和法能求出最小正整數(shù)m．

解答： 解：（1）設(shè){an }的公差為d，
則a2 =a1+d，a5 =a1 +4d，
∵a₂=6，a₅=12，
∴

a1+d=6 a1+4d=12

，解得a₁=4，d=2，
∴a_n=4+2（n-1）=2n+2．
∵數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和是S_n，且S_n+

1

2

b_n=1，
∴當(dāng)n=1時(shí)，b₁=S₁，
由S1+

1

2

b1=1，得b1=

2

3

，
當(dāng)n≥2時(shí)，∵Sn=1-

1

2

bn，Sn-1 =1-

1

2

bn-1，
∴S_n-S_n-1=

1

2

（b_n-1-b_n），即bn =

1

2

(bn-1-bn)，
∴bn=

1

3

bn-1，
∴{bn }是以

2

3

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列，
∴bn =

2

3

•(

1

3

)n-1=2•(

1

3

)n．
（2）∵bn =2•（

1

3

）ⁿ，
∴c_n=

-2

cn•log3 bn 2

=

-2

(2n+2)log3( 1 3 )n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

＜1，
由已知得

m-2012

2

≥1，
∴m≥2014，
∴最小正整數(shù)m=2014．…（12分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查最小正整數(shù)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．