平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)A1（-
7
，0），A2（
7
，0），動(dòng)點(diǎn)B1（0，m），B2（0，
1
m
），（m∈R且m≠0），直線A1B1與直線A2B2的交點(diǎn)N的軌跡為C．
（1）求軌跡C的方程；
（2）過點(diǎn)M（
4
3
，0）的直線l交軌跡C于P、Q兩點(diǎn)，以PQ為直徑的圓與y軸相切，求直線l的方程．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由已知條件失策導(dǎo)出直線A1B1為y=
m
7
x+m，直線A2B2為：y=-
1
7
m
x+
1
m
，其交點(diǎn)滿足方程
y=
m
7
x+m
y=-
1
7
m
x+
1
m
，由此能求出軌跡C的方程．
（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），設(shè)直線方程為x=ty+
4
3
，聯(lián)立
x2
7
+y2=1
x=ty+
4
3
，得（t2+7）y2+
8
3
ty-
47
9
=0，由此入手利用已知條件能求出直線l的方程．
解答： 解：（1）∵定點(diǎn)A1（-
7
，0），A2（
7
，0），
動(dòng)點(diǎn)B1（0，m），B2（0，
1
m
），（m∈R且m≠0），
∴直線A1B1為y=
m
7
x+m，直線A2B2為：y=-
1
7
m
x+
1
m
，
∴其交點(diǎn)滿足方程
y=
m
7
x+m
y=-
1
7
m
x+
1
m
，
相乘消去m得
x2
7
+y2=1，（x≠-
7
）．
∴軌跡C的方程為
x2
7
+y2=1，（x≠-
7
）．
（2）直線l斜率為0時(shí)，交橢圓于左右頂點(diǎn)，不成立，
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），設(shè)直線方程為x=ty+
4
3
，
與橢圓聯(lián)立
x2
7
+y2=1
x=ty+
4
3
，得（t2+7）y2+
8
3
ty-
47
9
=0，
以PQ為直徑的圓與y軸相切，
∴|PQ|=x1+x2，∴
1+t2
|y1-y2|=t(y1+y2)+
8
3
，
∴（1+t）2[(y1+y2)2-4y1y2]=
64
9
（
7
t2+7
）2，
∴（1+t2）[
64t2
9(t2+7)2
+4•
47
9(t2+7)
]=
64
9
（
7
t2+7
）2，
∴9t4+56t2-65=0，解得t2=1或t2=-
65
9
（舍）
∴直線l的方程為y=x-
4
3
或y=-x-
4
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線方程、直線與橢圓位置關(guān)系、圓等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a2=6，3Sn=（n+1）an+n（n+1）．
（1）求a1，a3；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）已知數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式是bn=
an
，cn=bn+1-bn，試判斷數(shù)列{cn}是否是單調(diào)數(shù)列，并證明對(duì)任意的正整數(shù)n，都有1＜cn≤
6
-
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=2，且an+1=3an+8n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，an=
Sn
n
+n-1．
（1）求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并寫出an與Sn的關(guān)于n的表達(dá)式；
（2）設(shè)數(shù)列{
1
anan+1
}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：
1
3
≤Tn＜
1
2
；
（3）是否存在自然數(shù)n，使得2S1+
2S2
2
+
2Sn
n
-（n-2）2=2011．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)，點(diǎn)H在PD上，且EH⊥PD，PA=AB=2．
（1）求證：EH∥平面PBA；
（2）求三棱錐P-AFH的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ax2-2lnx
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=x2-2bx+4，當(dāng)a=1時(shí)，若對(duì)任意x1∈（
1
2
，
3
2
），當(dāng)任意x2∈[2，4]時(shí)，f（x1）≥g（x2）恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF，BE與平面ABCD所成角的正切值為
2
2
．
（Ⅰ）求證：直線AC∥平面EFB；
（Ⅱ）求直線AC與平面ABE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC，側(cè)棱與底面垂直，點(diǎn)D是棱BC的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥BC1；
（2）求證：A1B∥平面ADC1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

有如下四個(gè)命題：
①甲乙兩組數(shù)據(jù)分別為甲：28，31，39，42，45，55，57，58，66；乙：29，34，35，48，42，46，55，53，55，67，則甲乙的中位數(shù)分別為45和44．
②相關(guān)系數(shù)r=-0.83，表明兩個(gè)變量的相關(guān)性較弱．
③若由一個(gè)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得K2的觀測(cè)值k≈4.103，那么有95%的把握認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)．
④用最小二乘法求出一組數(shù)據(jù)（xi，yi），（i=1，…，n）的回歸直線方程
y
=
b
x+
a
后要進(jìn)行殘差分析，相應(yīng)于數(shù)據(jù)（xi，yi），（i=1，…，n）的殘差是指
ei
=yi-（
b
xi+
a
）．
以上命題“錯(cuò)誤”的序號(hào)是
 
．

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