Question

19．已知關(guān)于x的函數(shù)g（x）=$\frac{2}{x}$-alnx，f（x）=x²+g（x），a＞0時(shí)，若f（x）有唯一零點(diǎn)x₀，試求x₀．

Answer 1

分析 a＞0時(shí)，由f（1）=3知x∈（0，1）時(shí)，f（x）＞0，因此x₀＞1．又f′（x）在區(qū)間（1，+∞）上只有一個(gè)極小值點(diǎn)記為x₁，由題意可知：x₁即為x₀．得到x₀²+$\frac{2}{{x}_{0}}$-alnx₀=0，2x₀³-ax₀-2=0，消去a，令t₁（x）=2lnx（x＞1），t₂（x）=1+$\frac{3}{{{x}_{0}}^{3}-1}$（x＞0），分別研究單調(diào)性即可得出x₀的取值范圍．

解答 解：∵a＞0時(shí)，f（1）=3知x∈（0，1）時(shí)，f（x）＞0，
∴x₀＞1．
又f′（x）在區(qū)間（1，+∞）上只有一個(gè)極小值點(diǎn)記為x₁，
且x∈（1，x₁）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，x∈（x₁，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
由題意可知：x₁即為x₀．
∴f（x₀）=0，f′（x₀）=0，
∴x₀²+$\frac{2}{{x}_{0}}$-alnx₀=0，2x₀³-ax₀-2=0，消去a可得：2lnx₀=1+$\frac{3}{{{x}_{0}}^{3}-1}$，
a＞0，令t₁（x）=2lnx（x＞1），t₂（x）=1+$\frac{3}{{{x}_{0}}^{3}-1}$（x＞0），
則在區(qū)間（1，+∞）上t₁（x）單調(diào)遞增，t₂（x）單調(diào)遞減．
t₁（2）=2ln2＜2×0.7=$\frac{7}{5}$＜$\frac{10}{7}$=t₂（2），
t₁（3）=2ln3＞2＞1+$\frac{3}{26}$=t₂（3）．
∴2＜x₀＜3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了分析問題與解決問題的方法，屬于中檔題．