Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{m}{x}$+1，m∈R．
（Ⅰ）當(dāng)m=e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）討論函數(shù)g（x）=f′（x）-$\frac{x}{3}$零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出當(dāng)m=e時(shí)，f（x）的解析式和導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到極值和最值；
（Ⅱ）求出g（x）的解析式，令g（x）=0，分離參數(shù)，可得m=x-$\frac{1}{3}$x³，再令h（x）=x-$\frac{1}{3}$x³，x＞0，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、最值，即可討論m的取值，得到零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)m=e時(shí)，f（x）=lnx+$\frac{e}{x}$+1的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{e}{{x}^{2}}$=$\frac{x-e}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）遞增；
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）遞減．
即有f（x）在x=e處取得極小值，也為最小值，且為3；
（Ⅱ）g（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{m}{{x}^{2}}$-$\frac{x}{3}$=$\frac{3x-3m-{x}^{3}}{3{x}^{2}}$，x＞0
令g（x）=0，即有m=x-$\frac{1}{3}$x³，
再令h（x）=x-$\frac{1}{3}$x³，x＞0，
h′（x）=1-x²=（1-x）（1+x），
當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＜0，h（x）在（1，+∞）遞減；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）遞增．
即有h（x）在x=1處取得極大值，也為最大值，且為$\frac{2}{3}$，
當(dāng)x=0時(shí)，h（x）=0，
則有當(dāng)m＞$\frac{2}{3}$時(shí)，g（x）無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)m=$\frac{2}{3}$或m≤0時(shí)，g（x）有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)0＜m＜$\frac{2}{3}$時(shí)，g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的求法，正確求導(dǎo)和構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵．