Question

8．在一個(gè)盒子里放有6張卡片，上面標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，現(xiàn)在從盒子里每次任意取出一張卡片，取兩張．
（1）若每次取出后不再放回，求取到的兩張卡片上數(shù)字之積大于12的概率；
（2）在每次取出后再放回和每次取出后不再放回這兩種取法中，得到的兩張卡片上的最大數(shù)字的期望值是否相等？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)第一、第二次所取得的數(shù)字分別為X，Y，列表如下：由表格可知：基本事件的總數(shù)為30，其中取到的兩張卡片上數(shù)字之積大于12的共有10種，利用古典概率計(jì)算公式即可得出；
（2）（i）在每次取出后再放回：設(shè)第一、第二次所取得的數(shù)字分別為X，Y，列表如下：由表格可知：基本事件的總數(shù)為36，設(shè)兩次取得的最大數(shù)為ξ，分別求出P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），P（ξ=5），P（ξ=6），即可得出數(shù)學(xué)期望．
（ii）在每次取出后不再放回：設(shè)第一、第二次所取得的數(shù)字分別為X，Y，列表如下：由表格可知：基本事件的總數(shù)為30，設(shè)兩次取得的最大數(shù)為η，可得P（η=2），P（η=3），P（η=4），P（η=5），P（η=6），即可得出數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)第一、第二次所取得的數(shù)字分別為X，Y，
列表如下：

X•Y	1	2	3	4	5	6
1		2	3	4	5	6
2	2		6	8	10	12
3	3	6		12	15	18
4	4	8	12		20	24
5	5	10	15	20		30
6	6	12	18	24	30

由表格可知：基本事件的總數(shù)為30，其中取到的兩張卡片上數(shù)字之積大于12的共有10種，∴取到的兩張卡片上數(shù)字之積大于12的概率P=$\frac{10}{30}$=$\frac{1}{3}$．
（2）（i）在每次取出后再放回：設(shè)第一、第二次所取得的數(shù)字分別為X，Y，
列表如下：

{X，Y}max	1	2	3	4	5	6
1	1	2	3	4	5	6
2	2	2	3	4	5	6
3	3	3	3	4	5	6
4	4	4	4	4	5	6
5	5	5	5	5	5	6
6	6	6	6	6	6	6

由表格可知：基本事件的總數(shù)為36，設(shè)兩次取得的最大數(shù)為ξ，則P（ξ=1）=$\frac{1}{36}$，P（ξ=2）=$\frac{3}{36}$，P（ξ=3）=$\frac{5}{36}$，P（ξ=4）=$\frac{7}{36}$，P（ξ=5）=$\frac{9}{36}$，P（ξ=6）=$\frac{11}{36}$，
其數(shù)學(xué)期望為E（ξ）=1×$\frac{1}{36}$+2×$\frac{3}{36}$+3×$\frac{5}{36}$+4×$\frac{7}{36}$+5×$\frac{9}{36}$+6×$\frac{11}{36}$=$\frac{161}{36}$．
（ii）在每次取出后不再放回：設(shè)第一、第二次所取得的數(shù)字分別為X，Y，
列表如下：

{X，Y}max（X表示列數(shù)字，Y表示橫行數(shù)字）	1	2	3	4	5	6
1		2	3	4	5	6
2	2		3	4	5	6
3	3	3		4	5	6
4	4	4	4		5	6
5	5	5	5	5		6
6	6	6	6	6	6

由表格可知：基本事件的總數(shù)為30，設(shè)兩次取得的最大數(shù)為η，則P（η=2）=$\frac{2}{30}$，P（η=3）=$\frac{4}{30}$，P（η=4）=$\frac{6}{30}$，P（η=5）=$\frac{8}{30}$，P（η=6）=$\frac{10}{30}$，
其數(shù)學(xué)期望為E（η）=2×$\frac{2}{30}$+3×$\frac{4}{30}$+4×$\frac{6}{30}$+5×$\frac{8}{30}$+6×$\frac{10}{30}$=$\frac{14}{3}$．
因此在每次取出后再放回和每次取出后不再放回這兩種取法中，得到的兩張卡片上的最大數(shù)字的期望值不相等，其中E（ξ）＜E（η）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了古典概率計(jì)算公式、分布列及其數(shù)學(xué)期望、有放回與不放回抽取的區(qū)別，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．