Question

已知函數(shù)f（x）=x²+mx+n，且函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）設(shè)g（x）=2sin（

πx

6

+

π

3

），若對任意x₁，x₂∈[-1，1]．f（x₂）＜g（x₁）恒成立，求n的取值范圍；
（3）討論方程[f（x）-n]=2n+1的實根個數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，得-

m

2

=2，求出即可；
（2）由（1）得：f（x）=（x-2）²+n-4，問題轉(zhuǎn)化為對任意x₁，x₂∈[-1，1]，f（x₂）_max＜g（x₁）_min恒成立，求出f（x）_max，g（x）_min，從而問題解決；
3）方程[f（x）-n]=2n+1可化為|x²-4x|=2n+1，畫出函數(shù)h（x）=|x²-4x|，通過討論2n+1的范圍，進而得到根的個數(shù)．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，
∴-

m

2

=2，即m=-4；
（2）由（1）得：f（x）=（x-2）²+n-4，
∵對任意x₁，x₂∈[-1，1]．f（x₂）＜g（x₁）恒成立，
∴x₁，x₂∈[-1，1]時，f（x₂）_max＜g（x₁）_min恒成立，
又∵f（x）在[-1，1]遞減，g（x）在[-1，1]遞增，
∴x₁，x₂∈[-1，1]時：
f（x）_max=f（-1）=n+5，g（x）_min=g（-1）=1，
∴n+5＜1，
∴n＜-4；
（3）方程[f（x）-n]=2n+1可化為|x²-4x|=2n+1，
令h（x）=|x²-4x|，畫出函數(shù)圖象：
，
∴當(dāng)2n+1＜0，即n＜-

1

2

時，方程無實根，
當(dāng)2n+1=0，即n=-

1

2

時，方程有2個實根，
當(dāng)2n+1＞4，即n＞

3

2

時，方程有2個實根，
當(dāng)2n+1=4，即n=

3

2

時，方程有3個實根，
當(dāng)0＜2n+1＜4，即-

1

2

＜n＜

3

2

時，方程有4個實根．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，本題屬于中檔題．