Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=1-

1

4an

，b_n=

2

2an-1

，其中n∈N^*
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）設(shè)c_n=

2

n+1

an，數(shù)列{c_nc_n+2}的前n項和為T_n，求證：T_n＜

3

4

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）把a(bǔ)_n+1=1-

1

4an

代入b_n=

2

2an-1

，直接利用等差數(shù)列的定義證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，求出其通項公式后可求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）把（1）中求得的數(shù)列{a_n}的通項公式代入c_n=

2

n+1

an，然后利用裂項相消法求數(shù)列{c_nc_n+2}的前n項和為T_n，放縮后得答案．

解答： 證明：（1）∵a_n+1=1-

1

4an

，b_n=

2

2an-1

，
∴bn+1-bn=

2

2an+1-1

-

2

2an-1

=

2

2(1- 1 4an )-1

-

2

2an-1

=

4an

2an-1

-

2

2an-1

=2(n∈N*)，
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
∵a₁=1，
∴b1=

2

2a1-1

=2，
∴b_n=2+（n-1）×2=2n．
由b_n=

2

2an-1

，得2an-1=

2

bn

=

1

n

，
∴an=

n+1

2n

，
（2）c_n=

2

n+1

an=

1

n

，
cncn+2=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)．
T_n=c₁c₂+c₂c₄+c₃c₅+…+c_nc_n+2
=

1

2

[(

1

1

-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

4

-

1

6

)+…+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＜

3

4

．

點評：本題考查了等差關(guān)系的確定，考查了裂項相消法求數(shù)列的和，訓(xùn)練了放縮法證明數(shù)列不等式，是壓軸題．