Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=alnx+（1-a）x+$\frac{1}{x}$其中，a≥1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k+1}$＜ln（n+1）-$\frac{n}{3（n+1）}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{-（x-1）[（a-1）x-1]}{{x}^{2}}$，
①1≤a＜2時(shí)，$\frac{1}{a-1}$＞1，
令f′（x）＞0，解得：1＜x＜$\frac{1}{a-1}$，
令f′（x）＜0，解得：x＜1或x＞$\frac{1}{a-1}$，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，$\frac{1}{a-1}$）遞增，在（$\frac{1}{a-1}$，+∞）遞減；
②a=2時(shí)，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）遞減；
③a＞2時(shí)，$\frac{1}{a-1}$＜1，
令f′（x）＞0，解得：$\frac{1}{a-1}$＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜$\frac{1}{a-1}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a-1}$）遞減，在（$\frac{1}{a-1}$，1）遞增，在（1，+∞）遞減．
（2）證明：a=1時(shí)，f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，（x＞0），
由（1）①得：f（x）在（0，1）遞減，
∴f（x）＜f（1）即lnx＜1-$\frac{1}{x}$，
假設(shè)n=k時(shí)成立，
即$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{k+1}$＜ln（k+1）-$\frac{k}{3（k+1）}$成立，
則只需n=k+1時(shí)：
$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$＜ln（k+1）-$\frac{k}{3（k+1）}$+$\frac{1}{k+2}$＜ln（k+2）-$\frac{k+1}{3（k+2）}$即可，
∴只需證明ln$\frac{k+1}{k+2}$＜$\frac{k}{3（k+1）}$-$\frac{1}{k+2}$-$\frac{k+1}{3（k+2）}$=-$\frac{3k+4}{3（k+1）（k+2）}$成立，
而ln$\frac{k+1}{k+2}$＜1-$\frac{k+2}{k+1}$=-$\frac{1}{k+1}$，
-$\frac{1}{k+1}$-[-$\frac{3k+4}{3（k+1）（k+2）}$]=-$\frac{2}{3（k+1）（k+2）}$＜0，
∴n=k+1時(shí)不等式成立，
故原結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，考查不等式的證明，考查數(shù)學(xué)歸納法與分析法的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)．