Question

7．已知函數(shù)f（x）=3ln²x-2x，它的兩個(gè)極值點(diǎn)為x₁，x₂（x₁＜x₂），給出以下結(jié)論：
①1＜x₁＜3＜x₂；②1＜x₁＜x₂＜3；③f（x₁）＞-3；④f（x₁）＜-$\frac{5}{3}$
則上述結(jié)論中所有正確的序號(hào)是（　�。�

• A． ①③
• B． ②③④
• C． ①④
• D． ①③④

Answer 1

分析 依題意，f′（x）=0在（0，+∞）上有二異根，作出f′（x）=$\frac{6lnx}{x}$-2的圖象，對(duì)①②③④四個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可確定答案．

解答 解：∵f（x）=3ln²x-2x，∴f′（x）=$\frac{6lnx}{x}$-2，
∵f（x）=3ln²x-2x有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂），
∴f′（x）=0在（0，+∞）上有二異根，
作出f′（x）=$\frac{6lnx}{x}$-2的圖象，如圖所示，則
①1＜x₁＜3＜x₂成立；
②1＜x₁＜x₂＜3，不成立；
f′（x₁）=0，∴6lnx₁=2x₁，∴l(xiāng)nx₁=$\frac{1}{3}$x₁，
∴f（x₁）=$\frac{1}{3}$x₁²-2x₁=$\frac{1}{3}$（x₁-3）²-3，
∵1＜x₁＜2
∴-3＜f（x₁）＜-$\frac{8}{3}$＜-$\frac{5}{3}$，
∴③④成立．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，著重考查數(shù)形結(jié)合思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、抽象思維與邏輯思維的綜合應(yīng)用，屬于難題．