Question

15．定義域為R的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=|x-a²|-a²，且對x∈R，恒有f（x-3）≤f（x），則實數(shù)a的取值范圍為[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)f（x）的解析式，討論a的取值，作出函數(shù)f（x）的圖象，利用圖象平移以及數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：∵定義域為R的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=|x-a²|-a²，
∴若x＜0，則-x＞0，
則f（-x）=|-x-a²|-a²=-f（x），
即f（x）=-|x+a²|+a²，x＜0，
若a=0，則f（x）=x，為增函數(shù)，恒有f（x-3）≤f（x），成立，
當(dāng)a≠0時，函數(shù)f（x）的圖象如圖：
∵f（x-3）的圖象可以函數(shù)是由函數(shù)f（x）的圖象向右平移3個單位得到的，
需要函數(shù)f（x）的圖象至少向左平移2a²-（-2a²）=4a²個單位才能滿足f（x-3）≤f（x），恒成立，
則4a²≤3，即-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤a≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且a≠0，
綜上-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤a≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案為：[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，利用函數(shù)奇偶性求出函數(shù)的解析式，以及利用分類討論和數(shù)形結(jié)合以及圖象平移關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．