Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=．

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域；

（Ⅱ）判定f（x）的奇偶性并證明；

（Ⅲ）用函數(shù)單調(diào)性定義證明：f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）{x|x≠±1}（Ⅱ）f（x）為偶函數(shù)（III）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)成立的條件進行求解即可．（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行證明．
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明．

試題解析：

（Ⅰ）由1﹣x2≠0，得x≠±1，即f（x）的定義域{x|x≠±1}；

（Ⅱ）f（x）為偶函數(shù)．

∵f（x）定義域關(guān)于原點對稱，且f（﹣x）=f（x）

∴f（x）為偶函數(shù)；…

（III）證明：

設(shè)1＜x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）==2()

，

∵1＜x1＜x2，

∴x1﹣x2＜0，1﹣x2＜0，1﹣x1＜0，

則f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

則函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．