Question

14． 如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=6，AB=2，M，N分別是棱B₁B，BC的中點．
（1）用向量方法證明：A₁M∥平面D₁AN；
（2）求A₁D₁與平面D₁AN所成角的正弦值；
（3）在平面AA₁B₁B內是否存在一點P，使得PD⊥平面D₁AN？若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系利用向量法能證明A₁M∥平面D₁AN．
（2）求出 $\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}$=（0，2，0），利用向量法能求出A₁D₁與平面D₁AN所成角的正弦值．
（3）設P（x，0，z），則$\overrightarrow{DP}$=（x，-2，z），由PD⊥平面D₁AN，利用向量法能求出結果．

解答 證明：（1）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），A₁（0，0，6），D₁（0，2，6），M（2，0，3），N（2，1，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}M}$=（2，0，-3），$\overrightarrow{AN}$=（2，1，0），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（0，2，6），
設平面D₁AN的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AN}=2x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=2y+6z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{n}$=（3，-6，2），
∵$\overrightarrow{{A}_{1}M}•\overrightarrow{n}$=0，A₁M?平面D₁AN，
∴A₁M∥平面D₁AN．
解：（2）$\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}$=（0，2，0），
設A₁D₁與平面D₁AN所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{12}{\sqrt{4}•\sqrt{49}}$=$\frac{6}{7}$，
∴A₁D₁與平面D₁AN所成角的正弦值為$\frac{6}{7}$．
（3）設P（x，0，z），∵D（0，2，0），則$\overrightarrow{DP}$=（x，-2，z），
∵PD⊥平面D₁AN，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{AN}=2x-2=0}\\{\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=4+6z=0}\end{array}\right.$，解得x=1，z=-$\frac{2}{3}$，∴P（1，0，-$\frac{2}{3}$），
∴在平面AA₁B₁B內存在一點P，使得PD⊥平面D₁AN，
點P為矩形AA₁B₁B內距離AA₁有1個單位長度，距離AB有$\frac{2}{3}$個單位長度的點．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查滿足條件的點的位置的確定，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想，是中檔題．