Question

已知f（x）=

ax

ax+ a

，其中a＞0，a≠1，
（1）求證：函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

1

2

，

1

2

）中心對(duì)稱(chēng)；
（2）求f（

1

10

）+f（

2

10

）+f（

3

10

）+…+f（

9

10

）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性,函數(shù)的值

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性的定義證明f（x）+f（x）=1即可；
（2）由f（x）+f（x）=1，利用倒序相減法即可求f（

1

10

）+f（

2

10

）+f（

3

10

）+…+f（

9

10

）的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

ax

ax+ a

，
∴f（x）+f（x）=

ax

ax+ a

+

a1-x

a1-x+ a

=

ax

ax+ a

+

a

a+ a •ax

=

ax

ax+ a

+

a

a +ax

=1，
即函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

1

2

，

1

2

）中心對(duì)稱(chēng)；
（2）由（1）知f（x）+f（x）=1，
設(shè)f（

1

10

）+f（

2

10

）+f（

3

10

）+…+f（

9

10

）=S．
則2S=[f（

1

10

）+（

9

10

）]+…+[f（

9

10

）f（

1

10

）]=9×1=9，
則S=

9

2

點(diǎn)評(píng)：本題函數(shù)指數(shù)函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，根據(jù)條件證明f（x）+f（x）=1是解決本題的關(guān)鍵．