Question

7．設(shè)函數(shù)g（x）=（x-1）e^mx-mx²，f（x）=g（x）+（2-x）e^mx，（其中m∈R）．
（ I）當(dāng)m=1時(shí)，求函數(shù)g（x）的極值；
（ II）求證：存在m∈（0，1），使得f（x）≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立，且方程f（x）=0在（0，+∞）內(nèi)有唯一解．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論m的范圍，求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，求出滿足條件的m的范圍，從而證出結(jié)論即可．

解答 解：（ I）當(dāng)m=1時(shí)，g（x）=（x-1）e^x-x²，g'（x）=e^x+（x-1）e^x-2x=xe^x-2x=x（e^x-2），
令g'（x）=0，得x₁=0，x₂=ln2，當(dāng)x變化時(shí)，g'（x），g（x）的變化如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，ln2）	ln2	（ln2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

由表可知，$g{（x）_{極小}}=g（ln2）={ln^2}2+2ln2-2$；g（x）_極大=g（0）=-1；
（ II）設(shè)m＞0，f（x）=e^mx-mx²，f（0）=1＞0，若f（x）=0要有解，需f（x）有單減區(qū)間，
則f'（x）＜0要有解，而f'（x）=me^mx-2mx=m（e^mx-2x），
由m＞0，f'（0）=m＞0，記f''（x）為函數(shù)f'（x）的導(dǎo)數(shù)
則f''（x）=m（me^mx-2），當(dāng)m＞0時(shí)f''（x）單增，
令f''（x）=0，由m＞0，得${x_0}=\frac{1}{m}ln\frac{2}{m}$，需考察x₀與區(qū)間（0，+∞）的關(guān)系：
①當(dāng)m≥2時(shí)，$ln\frac{2}{m}≤0$，x₀＜0，在（0，+∞）上f''（x）＞f''（x₀）=0，f'（x）單增，
f'（x）＞f'（0）=m＞0，故f（x）單增，f（x）＞f（0）=1，f（x）=0無(wú)解；
②當(dāng)m＜2，時(shí)，$ln\frac{2}{m}＞0$，${x_0}=\frac{1}{m}ln\frac{2}{m}＞0$，因?yàn)閒''（x）單增，
在（0，x₀）上f''（x）＜0，在（x₀，+∞）上f''（x）＞0
當(dāng)x=x₀時(shí)，f'（x）_min=f'（x₀）=$m（{e^{m•\frac{1}{m}ln\frac{2}{m}}}-2\frac{1}{m}ln\frac{2}{m}）=m（\frac{2}{m}-\frac{2}{m}ln\frac{2}{m}）=2-2ln\frac{2}{m}=2（1-ln\frac{2}{m}）$；
（ i）若$1-ln\frac{2}{m}≥0$，即$\frac{2}{e}≤m＜2$時(shí)，f'（x）_min≥0，f（x）單增，f（x）＞f（0）=1，f（x）=0無(wú)解；
（ ii）若$1-ln\frac{2}{m}＜0$，即$m＜\frac{2}{e}$，f'（x）_min=f'（x₀）＜0，在（0，x₀）上f''（x）＜0，f'（x）單減；
f'（0）=m＞0，f'（x₀）＜0，f'（x）=0在區(qū)間（0，x₀）上有唯一解，記為x₁；
在（x₀，+∞）上，f''（x）＞0，f'（x）單增，f'（x₀）＜0，當(dāng)x→+∞時(shí)f'（x）→+∞
，故f'（x）=0在區(qū)間（x₀，+∞）上有唯一解，記為x₂，
則在（0，x₁）上f'（x）＞0，在（x₁，x₂）上f'（x）＜0，在（x₂，+∞）上f'（x）＞0，
當(dāng)x=x₂時(shí)，f（x）取得最小值f（x₂），此時(shí)$0＜m＜\frac{2}{e}$，
若要f（x）≥0恒成立且f（x）=0有唯一解，
當(dāng)且僅當(dāng)f（x₂）=0，即${e^{m{x_2}}}-mx_2^2=0$，
由f'（x₂）=0有${e^{m{x_2}}}-2{x_2}=0$，
聯(lián)立兩式$\left\{\begin{array}{l}{e^{m{x_2}}}-mx_2^2=0\\{e^{m{x_2}}}-2{x_2}=0\end{array}\right.$解得${x_2}=\frac{2}{m}$，
綜上，當(dāng)$0＜m＜\frac{2}{e}$時(shí)，f（x）≥f（x₂）=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想、函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道綜合題．