【題目】已知數(shù)列、滿足：，，，．

（1）求，，，；

（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項公式；

（3）設，若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

【答案】（1），，，（2）證明見解析，（）（3）

【解析】

（1）根據已知條件求得與的遞推關系式，由此先求出，進而依次求得的值.

（2）由（1）中求得的與的遞推關系式，利用配湊法證得數(shù)列是等差數(shù)列，由此求得數(shù)列的通項公式，進而求得數(shù)列的通項公式.

（3）由（2）求得數(shù)列的通項公式，利用裂項求和法求得.

解法一：利用分離常數(shù)法化簡不等式，得到，利用數(shù)列的單調性證得，由此求得的取值范圍.

解法二：通過差比較法，化簡，對分類討論，結合二次函數(shù)的性質求得的取值范圍.

（1）由于，所以，

因為，所以，，，，．

（2），，

所以，，

所以，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．

所以，，（）．

（3）因為，從而，

所以，

，

解法一：

所以，不等式化為，

即當時恒成立，

令，

則隨著的增大而減小，且恒成立．

故，所以，實數(shù)的取值范圍是．

解法二：

，

若不等式對任意恒成立，則當且僅當對任意恒成立．

設，由題意，，

當時，恒成立；

當時，函數(shù)圖像的對稱軸為，

在上單調遞減，即在上單調遞減，故只需即可，

由，得，所以當時，對恒成立．

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知.

（1）當時，解不等式；

（2）若關于的方程的解集中恰好有一個元素，求實數(shù)的值；

（3）設，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，取同離心率的兩個橢圓成軸對稱內外嵌套得一個標志，為美觀考慮，要求圖中標記的①、②、③）三個區(qū)域面積彼此相等.（已知：橢圓面積為圓周率與長半軸、短半軸長度之積，即橢圓面積為）

（1）求橢圓的離心率的值；

（2）已知外橢圓長軸長為6，用直角角尺兩條直角邊內邊緣與外橢圓相切，移動角尺繞外橢圓一周，得到由點M生成的軌跡將兩橢圓圍起來，整個標志完成.請你建立合適的坐標系，求出點M的軌跡方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，斜三棱柱中，平面平面，為棱的中點，與點．若，60°．

（Ⅰ）證明：直線平面；

（Ⅱ）證明：平面平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的中心為，一個方向向量為的直線與只有一個公共點

（1）若且點在第二象限，求點的坐標；

（2）若經過的直線與垂直，求證：點到直線的距離；

（3）若點、在橢圓上，記直線的斜率為，且為直線的一個法向量，且求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知正項數(shù)列，滿足：對任意正整數(shù)，都有，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，且，．

（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列，的通項公式；

（Ⅲ）設=++…+，如果對任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的周期為，圖象的一個對稱中心為.將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再將所得到的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象.

(1)求函數(shù)與的解析式.

(2)定義:當函數(shù)取得最值時,函數(shù)圖象上對應的點稱為函數(shù)的最值點,如果函數(shù)的圖象上至少有一個最大值點和一個最小值點在圓的內部或圓周上，求k的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,分別是的極值點,且有,則函數(shù) ( )

A.在區(qū)間上單調遞增B.在區(qū)間上單調遞增

C.在區(qū)間上單調遞減D.在區(qū)間上單調遞減

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓經過點離心率.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）經過橢圓左焦點的直線(不經過點且不與軸重合)與橢圓交于兩點，與直線:交于點，記直線的斜率分別為.則是否存在常數(shù)，使得向量 共線？若存在求出的值；若不存在，說明理由.

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