Question

19．設橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{3}$=1（a＞$\sqrt{3}$）的右焦點為F，右頂點為M，且$\frac{1}{{|{OF}|}}$+$\frac{1}{{|{OM}|}}$=$\frac{3e}{{|{FM}|}}$，（其中O為原點），e為橢圓的離心率．
（1）求橢圓C方程；
（2）若過點F的直線l與C相交于A，B兩點，在x軸上是否存在點N，使得$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NB}$為定值？如果有，求出點N的坐標及相應定值；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意求得a²=c²+3及|OF|、|OM|、|FM|，并代入$\frac{1}{{|{OF}|}}$+$\frac{1}{{|{OM}|}}$=$\frac{3e}{{|{FM}|}}$，即可求得a的值，即可求得橢圓方程；
（2）直線l的斜率存在時，設其方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及向量的數(shù)量積的坐標表示，結合已知條件能求出存在點N（$\frac{11}{8}$，0）滿足$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NB}$=-$\frac{135}{64}$．

解答 解：（1）由題意可知：焦點在x軸上，由a²=c²+3
∴丨OF丨=c=$\sqrt{{a}^{2}-3}$，丨OM丨=a，丨FM丨=a-c=a-$\sqrt{{a}^{2}-3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-3}}{a}$
由$\frac{1}{{|{OF}|}}$+$\frac{1}{{|{OM}|}}$=$\frac{3e}{{|{FM}|}}$，即：$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}-3}}$+$\frac{1}{a}$=$\frac{3×\frac{\sqrt{{a}^{2}-3}}{a}}{a-\sqrt{{a}^{2}-3}}$，
∴a[a²-（a²-3）]=3a（a²-3），解得a=2．
∴橢圓C方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由（1）可知：c=1，
當直線l的斜率存在時，設其方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將橢圓方程代入橢圓方程：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
△＞0，x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
若存在定點N（m，0）滿足條件，
則有$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NB}$=（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂，
=m²-m（x₁+x₂）+k²（x₁-1）（x₂-1），
=（1+k²）x₁•x₂-（m+k²）•（x₁+x₂）+k²+m²，
=$\frac{（1+{k}^{2}）（4{k}^{2}-12）}{4{k}^{2}+3}$-$\frac{（m+{k}^{2}）×8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$+k²+m²，
=$\frac{（4{m}^{2}-8m-5）{k}^{2}+3{m}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，
如果要上式為定值，則必須有$\frac{4{m}^{2}-8m-5}{3{m}^{2}-12}$=$\frac{4}{3}$⇒m=$\frac{11}{8}$，
證當直線l斜率不存在時，也符合．
故存在點N（$\frac{11}{8}$，0）滿足$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NB}$=-$\frac{135}{64}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關系的應用，解題時要認真審題，注意韋達定理、向量的數(shù)量積及橢圓性質的合理運用，考查計算能力，屬于中檔題．