Question

18．已知點A是拋物線x²=2y上位于第一象限的點，焦點F，且$|AF|=\frac{5}{2}$，過A，F(xiàn)的直線l交拋物線于點B．
（Ⅰ）求直線l的方程；
（Ⅱ）在拋物線AOB部分上求一點P，使P到直線l距離最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，求出拋物線的焦點坐標和準線方程，拋物線定義得：$|AF|=y+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，解可得y的值，進而可得A的坐標，結(jié)合F的坐標計算可得直線l的方程；
（Ⅱ）分析可得當P在切點處時，點P到直線l的距離最大，設(shè)切點P（x₀，y₀），將拋物線的方程變形為$y=\frac{x^2}{2}$求導(dǎo)得y'=x，由直線l的方程計算可得P的坐標，進而由點到直線的距離公式計算可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，拋物線x²=2y的焦點為$F（0，\frac{1}{2}）$，準線方程為$y=-\frac{1}{2}$，
設(shè)A（x，y）（x＞0），
則由拋物線定義得：$|AF|=y+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，
解可得y=2，
又由線x²=2y，則x=2，則A的坐標為（2，2）；
所以直線l的方程為：$y=\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}$，即3x-4y+2=0；
（Ⅱ）平移直線l與拋物線相切，當P在切點處時，點P到直線l的距離最大
設(shè)切點P（x₀，y₀），由$y=\frac{x^2}{2}$求導(dǎo)得：y'=x，
所以切線斜率$k={x_0}=\frac{3}{4}$，∴${x_0}=\frac{3}{4}，{y_0}=\frac{9}{32}$，
顯然x_B＜x₀＜x_A，
∴$P（\frac{3}{4}，\frac{9}{32}）$
直線l：3x-4y+2=0，所以P到直線l的距離$d=\frac{{|3{x_0}-4{y_0}+2|}}{5}=\frac{5}{8}$
所以所求的點$P（\frac{3}{4}，\frac{9}{32}）$，距離最大值為$\frac{5}{8}$．

點評 本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是依據(jù)題意，求出拋物線的標準方程．