Question

10．某市隨機抽取部分企業(yè)調(diào)查年上繳稅收情況{單位萬元，將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），年上繳稅收范圍是[0，100]樣本數(shù)據(jù)分組為[0，20），[20，40）[40，60）[60，80），[80，100）
（1）求直方圖中x的值；
（2）如果年上繳稅收不少于60萬元的企業(yè)可申請政策優(yōu)惠，若共抽取企業(yè)1200個，試估計有多少企業(yè)可以申請政策優(yōu)惠；
（3）從企業(yè)中任選4個，這4個企業(yè)年上繳稅收少于20萬元的個數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望（以直方圖中的頻率作為概率）

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖能求出x的值．
（2）由頻率分布直方圖求出年上繳稅收不少于60萬元的企業(yè)所占頻率為0.12，由此能估計有多少企業(yè)可以申請政策優(yōu)惠．
（3）企業(yè)年上繳稅收少于20萬元的頻率p=0.25，從企業(yè)中任選4個，這4個企業(yè)年上繳稅收少于20萬元的個數(shù)記為X，則X～B（4，$\frac{1}{4}$），由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖得：
（x+0.025+0.0065+0.003+0.003）×20=1，
解得x=0.0125．
（2）由頻率分布直方圖得年上繳稅收不少于60萬元的企業(yè)所占頻率為（0.003+0.003）×20=0.12，
∵年上繳稅收不少于60萬元的企業(yè)可申請政策優(yōu)惠，共抽取企業(yè)1200個，
∴估計有：1200×0.12=144個企業(yè)可以申請政策優(yōu)惠．
（3）企業(yè)年上繳稅收少于20萬元的頻率p=0.0125×20=0.25，
從企業(yè)中任選4個，這4個企業(yè)年上繳稅收少于20萬元的個數(shù)記為X，
則X～B（4，$\frac{1}{4}$），
P（X=0）=${C}_{4}^{4}（\frac{3}{4}）^{4}$=$\frac{81}{256}$，
P（X=1）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{4}）（\frac{3}{4}）^{3}$=$\frac{108}{256}$，
P（X=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{3}{4}）^{2}$=$\frac{54}{256}$，
P（X=3）=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{4}）^{3}（\frac{3}{4}）$=$\frac{12}{256}$，
P（X=4）=${C}_{4}^{0}（\frac{1}{4}）^{4}$=$\frac{1}{256}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{81}{256}$	$\frac{108}{256}$	$\frac{54}{256}$	$\frac{12}{256}$	$\frac{1}{256}$

E（X）=$0×\frac{81}{256}+1×\frac{108}{256}+2×\frac{54}{256}+3×\frac{12}{256}+4×\frac{1}{256}$=1．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．