Question

9．如圖，設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)．直線y=6x與C的交點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為 $\frac{2}{7}$，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線l，D為l 上異于點(diǎn)B的一點(diǎn)，以BD為直徑作圓E．
（1）求C 的方程；
（2）若直線AD與C的另一個(gè)交點(diǎn)為P，證明PF與圓E相切．

Answer 1

分析 （1）由已知橢圓離心率可設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$，聯(lián)立直線方程與橢圓方程求出交點(diǎn)橫坐標(biāo)可得c，則橢圓方程可求；
（2）求出橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)圓E的圓心為（2，t）（t≠0），則D（2，2t），則圓E的半徑R=t．寫出AD所在直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，求得P點(diǎn)坐標(biāo)，得到PF所在直線方程，由點(diǎn)E（2，t）到直線PF的距離為圓的半徑得答案．

解答 （1）解：由題意可知，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，∴a=2c，
又a²=b²+c²，則b²=3c²．
設(shè)橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=6x}\\{\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{2c}{7}=\frac{2}{7}$，∴c=1，a=2，b²=3．
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）證明：由（1）可得F（1，0），設(shè)圓E的圓心為（2，t）（t≠0），則D（2，2t），
則圓E的半徑R=t．
直線AD的方程為y=$\frac{t}{2}（x+2）$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{t}{2}（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+t²）x²+4t²x+4t²-12=0．
由$（-2）{x}_{P}=\frac{4{t}^{2}-12}{3+{t}^{2}}$，得${x}_{P}=\frac{6-2{t}^{2}}{3+{t}^{2}}$，${y}_{P}=\frac{t}{2}（{x}_{P}+2）=\frac{6t}{3+{t}^{2}}$．
直線PF的方程為$y=\frac{\frac{6t}{3+{t}^{2}}}{\frac{6-2{t}^{2}}{3+{t}^{2}}}（x-1）=\frac{2t}{1-{t}^{2}}（x-1）$，
即2tx+（t²-1）y-2t=0．
∵點(diǎn)E（2，t）到直線PF的距離為d=$\frac{4t+t（{t}^{2}-1）-2t}{\sqrt{4{t}^{2}+（{t}^{2}-1）^{2}}}=\frac{{t}^{3}+t}{\sqrt{（{t}^{2}+1）^{2}}}=t$，
∴直線PF與圓E相切．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查直線與圓、橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題．