Question

17．如圖，在底面為矩形的四棱錐P-ABCD中，PB⊥AB．
（1）證明：平面PBC⊥平面PCD；
（2）若PB=AB=$\frac{4}{3}$BC=4，平面PAB⊥平面ABCD，求三棱錐A-PBD與三棱錐P-BCD的表面積之差．

Answer 1

分析 （1）由已知四邊形ABCD為矩形，得AB⊥BC，然后結(jié)合已知可得AB⊥平面PBC，進(jìn)一步得到CD⊥平面PBC，再由面面垂直的判定可得平面PBC⊥平面PCD；
（2）由已知分別說(shuō)明三角形PAD、PBC、PCD、PAB為直角三角形并求出面積，再由△ABD與△BCD的面積相等，且三棱錐P-BCD與三棱錐A-PBD的公共面為△PBD，即可求得三棱錐A-PBD與三棱錐P-BCD的表面積之差．

解答 （1）證明：由已知四邊形ABCD為矩形，得AB⊥BC，
∵PB⊥AB，PB∩BC=B，∴AB⊥平面PBC，
又CD∥AB，∴CD⊥平面PBC，
∵CD?平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD；
（2）解：∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AD⊥AB，
∴AD⊥平面PAB，則AD⊥PA，
∴${S}_{△PAD}=\frac{1}{2}×3×4\sqrt{2}=6\sqrt{2}$．
又AD∥BC，∴BC⊥平面PAB，則BC⊥PB，
∴${S}_{△PBC}=\frac{1}{2}×4×3=6$．
又CD⊥平面PBC，∴CD⊥PC，
∴${S}_{△PCD}=\frac{1}{2}×4×\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}=10$．
又PB⊥AB，則${S}_{△PAB}=\frac{1}{2}×4×4=8$．
而△ABD與△BCD的面積相等，且三棱錐P-BCD與三棱錐A-PBD的公共面為△PBD．
∴三棱錐A-PBD與三棱錐P-BCD的表面積之差為$（8+6\sqrt{2}）-（10+6）=6\sqrt{2}-8$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力和計(jì)算能力，是中檔題．